第3讲 导数及其应用1．(2022·湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数2．(2022·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( )A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)3．(2022·辽宁)当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．[－5，－3]B．[－6，－]C．[－6，－2]D．[－4，－3]4．(2022·安徽)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1<x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为( )A．3B．4C．5D．61.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型.热点一 导数的几何意义1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．18\n例1 (1)(2022·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________________________________________________________________________.(2)(2022·泸州市质量诊断)设函数f(x)＝ax3＋3x，其图象在点(1，f(1))处的切线l与直线x－6y－7＝0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为( )A．1B．3C．9D．12思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线C1：y＝ax3＋1(a>0)与曲线C2：x2＋y2＝的一个公共点，若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，则实数a的值是________．热点二 利用导数研究函数的单调性1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．例2 (2022·重庆)设函数f(x)＝(a∈R)．(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．18\n思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．跟踪演练2 (1)函数f(x)＝x2－lnx的单调递减区间为( )A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)(2)若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在[，＋∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．热点三 利用导数求函数的极值、最值1．若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．2．设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．例3 设函数f(x)＝px－－2lnx，g(x)＝，其中p>0.(1)若f(x)在其定义域内是单调增函数，求实数p的取值范围；(2)若在[1，e]上存在点x0，使得f(x0)>g(x0)成立，求实数p的取值范围；(3)若在[1，e]上存在点x1，x2，使得f(x1)>g(x2)成立，求实数p的取值范围．18\n思维升华 (1)求函数f(x)的极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号．(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．跟踪演练3 已知函数f(x)＝lnx＋ax－a2x2(a≥0)．(1)若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；(2)若f(x)<0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．1．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为( )A．eB．－eC.D．－2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )A．－B．－2C．－2或－D．2或－3．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－alnx在(1,2)上为增函数，则a的值等于________．4．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________．18\n提醒：完成作业 专题二 第3讲二轮专题强化练专题二第3讲 导数及其应用A组 专题通关1.若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能为( )2．(2022·云南第一次检测)函数f(x)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A．2x－y－4＝0B．2x＋y＝0C．x－y－3＝0D．x＋y＋1＝03．(2022·福建)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，则下列结论中一定错误的是( )A．f＜B．f＞C．f＜D．f＞4．设f(x)＝x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围为( )A．[－，＋∞)B．(－∞，－3]C．(－∞，－3]∪[－，＋∞)D．[－，]5．已知a≤＋lnx对任意x∈[，2]恒成立，则a的最大值为( )18\nA．0B．1C．2D．36．(2022·陕西)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．7．若函数f(x)＝在x∈(2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．8．已知函数f(x)＝4lnx＋ax2－6x＋b(a，b为常数)，且x＝2为f(x)的一个极值点，则a的值为________．9．(2022·重庆)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．10．已知函数f(x)＝－lnx，x∈[1,3]．(1)求f(x)的最大值与最小值；(2)若f(x)<4－at对任意的x∈[1,3]，t∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围．B组 能力提高11．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )A．20B．18C．3D．012．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围为________．13．设函数f(x)＝aex(x＋1)(其中，e＝2.71828…)，g(x)＝x2＋bx＋2，已知它们在x＝0处有相同的切线．(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[t，t＋1](t>－3)上的最小值；18\n(3)若对∀x≥－2，kf(x)≥g(x)恒成立，求实数k的取值范围．学生用书答案精析第3讲 导数及其应用高考真题体验1．A [易知函数定义域为(－1,1)，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln＝ln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数．故选A.]2．B [f′(x)＝3ax2－6x，当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈(0，)时，f′(x)<0；x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f()＝>0，则f(x)的大致图象如图1所示．不符合题意，排除A、C.图1当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)<0，x∈(－，0)时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f(－)＝－，则f(x)的大致图象如图2所示．不符合题意，排除D.图2]18\n3．C [当x＝0时，ax3－x2＋4x＋3≥0变为3≥0恒成立，即a∈R.当x∈(0,1]时，ax3≥x2－4x－3，a≥，∴a≥max.设φ(x)＝，φ′(x)＝＝－＝－>0，∴φ(x)在(0,1]上递增，φ(x)max＝φ(1)＝－6，∴a≥－6.当x∈[－2,0)时，a≤，∴a≤min.仍设φ(x)＝，φ′(x)＝－.当x∈[－2，－1)时，φ′(x)<0，当x∈(－1,0)时，φ′(x)>0.∴当x＝－1时，φ(x)有极小值，即为最小值．而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2.综上知－6≤a≤－2.]4．A [f′(x)＝3x2＋2ax＋b；由已知x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的不同两根，当f(x1)＝x1<x2时，作y＝x1，y＝x2与f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个不同交点．即方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三个不同实根．]热点分类突破例1 (1)1 (2)B18\n解析 (1)f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝1＋3a，f(1)＝a＋2.(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(1＋3a)(x－1)．将(2,7)代入切线方程，得7－(a＋2)＝(1＋3a)，解得a＝1.(2)f′(x)＝3ax2＋3，由题设得f′(1)＝－6，所以3a＋3＝－6，a＝－3.所以f(x)＝－3x3＋3x，f(1)＝0，切线l的方程为y－0＝－6(x－1)，即y＝－6x＋6.所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S＝×1×6＝3.选B.跟踪演练1 4解析 设A(x0，y0)，则C1在A处的切线的斜率为f′(x0)＝3ax，C2在A处的切线的斜率为－＝－，又C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直，所以(－)·3ax＝－1，即y0＝3ax，又ax＝y0－1，所以y0＝，代入C2：x2＋y2＝，得x0＝±，将x0＝±，y0＝代入y＝ax3＋1(a>0)，得a＝4.例2 解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝＝，因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.(2)由(1)知f′(x)＝.令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0，解得x1＝，x2＝.当x＜x1时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数；当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，即f′(x)＞0，18\n故f(x)为增函数；当x＞x2时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)为减函数．由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－，故a的取值范围为.跟踪演练2 (1)B (2)(－，＋∞)解析 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0<x≤1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1]．(2)对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－)2＋＋2a.当x∈[，＋∞)时，f′(x)的最大值为f′()＝＋2a.令＋2a>0，解得a>－.所以a的取值范围是(－，＋∞)．例3 解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝p＋－＝.由条件知f′(x)≥0在(0，＋∞)内恒成立，即p≥恒成立．而≤＝1，当x＝1时等号成立，即的最大值为1，所以p≥1，即实数p的取值范围是[1，＋∞)．(2)设h(x)＝f(x)－g(x)，则已知等价于h(x)>0在[1，e]上有解，即等价于h(x)在[1，e]上的最大值大于0.因为h′(x)＝p＋－＋＝>0，18\n所以h(x)在[1，e]上是增函数，所以h(x)max＝h(e)＝pe－－4>0，解得p>.所以实数p的取值范围是(，＋∞)．(3)已知条件等价于f(x)max>g(x)min.当p≥1时，由(1)知f(x)在[1，e]上是增函数，所以f(x)max＝f(e)＝pe－－2.当0<p<1时，令f′(x)＝0，得x＝，可知f(x)在(1，)上是减函数，在(，e)上是增函数．若f(x)max＝f(1)＝0，由于g(x)min＝2，所以此时无解．所以f(x)max＝f(e)＝pe－－2>0.综上可知，应用pe－－2>2，解得p>.所以实数p的取值范围是(，＋∞)．跟踪演练3 解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.因为x＝1是函数y＝f(x)的极值点，所以f′(1)＝1＋a－2a2＝0，解得a＝－(舍去)或a＝1.经检验，当a＝1时，x＝1是函数y＝f(x)的极值点，所以a＝1.(2)当a＝0时，f(x)＝lnx，显然在定义域内不满足f(x)<0；当a>0时，令f′(x)＝＝0，得x1＝－(舍去)，x2＝，18\n所以f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，＋∞)f′(x)＋0－f(x)极大值所以f(x)max＝f()＝ln<0，所以a>1.综上可得a的取值范围是(1，＋∞)．高考押题精练1．C [y＝f(x)＝lnx的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则切线斜率k＝f′(x0)＝.∴切线方程为y－y0＝(x－x0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y0＝1，则x0＝e，∴k＝＝.]2．A [由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即解得或经检验满足题意，故＝－.]3．2解析 ∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，∴≥1，得a≥2.又∵g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2.4.解析 由于f′(x)＝1＋>0，因此函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.根据题意可知存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，即x2－2ax＋5≤0，即a≥＋能成立，18\n令h(x)＝＋，则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，又函数h(x)＝＋在x∈[1,2]上单调递减，所以h(x)min＝h(2)＝，故只需a≥.18\n二轮专题强化练答案精析第3讲 导数及其应用1．C [根据f′(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A、D；从适合f′(x)＝0的点可以排除B.]2．C [f′(x)＝，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.]3．C [∵导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1，∴f′(x)－k＞0，k－1＞0，＞0，可构造函数g(x)＝f(x)－kx，可得g′(x)＞0，故g(x)在R上为增函数，∵f(0)＝－1，∴g(0)＝－1，∴g＞g(0)，∴f－＞－1，∴f＞，∴选项C错误，故选C.]4．C [f′(x)＝x2＋2ax＋5，当f(x)在[1,3]上单调递减时，由得a≤－3；当f(x)在[1,3]上单调递增时，f′(x)≥0恒成立，则有Δ＝4a2－4×5≤0或或得a∈[－，＋∞)．综上a的取值范围为(－∞，－3]∪[－，＋∞)，故选C.]5．A [令f(x)＝＋lnx，则f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)在[，1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，∴[f(x)]min＝f(1)＝0，∴a≤0.]6．y＝－解析 设y＝f(x)＝xex，令y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)＝0，得x＝－1.当x＜－1时，y′＜0；当x＞－1时，y′＞0，故x＝－1为函数f(x)的极值点，切线斜率为0，又f(－1)＝－e－1＝－，故切点坐标为，切线方程为y＋＝0(x＋1)，即y＝－.7．a≤解析 f′(x)＝18\n＝＝，令f′(x)≤0，即2a－1≤0，解得a≤.8．1解析 由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f′(x)＝＋2ax－6，∴f′(2)＝2＋4a－6＝0，即a＝1.9．解 (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′＝0，即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝.(2)由(1)得g(x)＝ex，故g′(x)＝ex＋ex＝ex＝x(x＋1)(x＋4)ex.令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4.当x＜－4时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当－4＜x＜－1时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数；当－1＜x＜0时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当x＞0时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数．综上知g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数．10．解 (1)∵函数f(x)＝－lnx，∴f′(x)＝－，令f′(x)＝0得x＝±2，∵x∈[1,3]，当1<x<2时，f′(x)<0；当2<x<3时，f′(x)>0；∴f(x)在(1,2)上是单调减函数，18\n在(2,3)上是单调增函数，∴f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝－ln2；又f(1)＝，f(3)＝－ln3，∵ln3>1，∴－(－ln3)＝ln3－1>0，∴f(1)>f(3)，∴x＝1时f(x)的最大值为，x＝2时函数取得最小值为－ln2.(2)由(1)知当x∈[1,3]时，f(x)≤，故对任意x∈[1,3]，f(x)<4－at恒成立，只要4－at>对任意t∈[0,2]恒成立，即at<恒成立，记g(t)＝at，t∈[0,2]．∴解得a<，∴实数a的取值范围是(－∞，)．11．A [因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.]12．(0，)解析 f′(x)＝lnx＋1－2ax(a>0)，问题转化为a＝在(0，＋∞)上有两个实数解．设g(x)＝，则g′(x)＝－.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(x)在x＝1处取得极大值也是最大值，即g(x)max＝g(1)＝.注意g()＝0，当x>1时，g(x)>0，则g(x)的大致图象如图所示．18\n由图象易知0<a<时，a＝在(0，＋∞)上有两个实数解．13．解 (1)f′(x)＝aex(x＋2)，g′(x)＝2x＋b.由题意，得两函数在x＝0处有相同的切线．∴f′(0)＝2a，g′(0)＝b，∴2a＝b，f(0)＝a，g(0)＝2，∴a＝2，b＝4，∴f(x)＝2ex(x＋1)，g(x)＝x2＋4x＋2.(2)由(1)知f′(x)＝2ex(x＋2)，由f′(x)>0得x>－2，由f′(x)<0得x<－2，∴f(x)在(－2，＋∞)单调递增，在(－∞，－2)单调递减．∵t>－3，∴t＋1>－2.①当－3<t<－2时，f(x)在[t，－2]单调递减，在[－2，t＋1]单调递增，∴f(x)min＝f(－2)＝－2e－2.②当t≥－2时，f(x)在[t，t＋1]单调递增，∴f(x)min＝f(t)＝2et(t＋1)；∴f(x)＝(3)令F(x)＝kf(x)－g(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，由题意当x≥－2时，F(x)min≥0.∵∀x≥－2，kf(x)≥g(x)恒成立，∴F(0)＝2k－2≥0，∴k≥1.F′(x)＝2kex(x＋1)＋2kex－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)，∵x≥－2，由F′(x)>0得ex>，∴x>ln；18\n由F′(x)<0得x<ln，∴F(x)在(－∞，ln)单调递减，在[ln，＋∞)单调递增．①当ln<－2，即k>e2时，F(x)在[－2，＋∞)单调递增，F(x)min＝F(－2)＝－2ke－2＋2＝(e2－k)<0，不满足F(x)min≥0.②当ln＝－2，即k＝e2时，由①知，F(x)min＝F(－2)＝(e2－k)＝0，满足F(x)min≥0.③当ln>－2，即1≤k<e2时，F(x)在[－2，ln)单调递减，在[ln，＋∞)单调递增．F(x)min＝F(ln)＝lnk(2－lnk)>0，满足F(x)min≥0.综上所述，满足题意的k的取值范围为[1，e2]．18
