第1讲 排列、组合、二项式定理1．(2022·四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有( )A．144个B．120个C．96个D．72个2．(2022·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A．10B．20C．30D．603．(2022·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．4．(2022·课标全国Ⅱ)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.热点一 两个计数原理14\n分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．例1 如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A．72种B．48种C．24种D．12种(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为( )A．240B．204C．729D．920思维升华 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．跟踪演练1 (1)(2022·大纲全国)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．60种B．70种C．75种D．150种(2)已知函数f(x)＝ln(x2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为( )A．8B．9C．26D．27热点二 排列与组合名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复不同点①排列与顺序有关；②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同①组合与顺序无关；②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同例2 (1)(2022·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A．72B．12014\nC．144D．168(2)数列{an}共有12项，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且|ak＋1－ak|＝1，k＝1,2,3，…，11，则满足这种条件的不同数列的个数为( )A．84B．168C．76D．152思维升华 解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．跟踪演练2 (1)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A．36种B．42种C．48种D．54种(2)要从3名骨科和5名内科医生中选派3人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答)．热点三 二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn，其中各项的系数就是组合数C(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数；展开式中共有n＋1项，其中第r＋1项Tr＋1＝Can－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N*)称为二项展开式的通项公式．例3 (1)(2022·陕西)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n等于( )A．4B．5C．6D．7(2)(2－)8的展开式中，不含x4的项的系数的和为( )A．－1B．0C．1D．2思维升华 (1)在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；②Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；③公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；14\n④对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．跟踪演练3 (1)(2022·湖北)若二项式(2x＋)7的展开式中的系数是84，则实数a等于( )A．2B.C．1D.(2)(2022·浙江)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)等于( )A．45B．60C．120D．2101．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A．8种B．16种C．18种D．24种2．为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为( )A．60B．120C．240D．3603．若(3x－)n展开式中各项系数之和为16，则该展开式中含x2项的系数为( )A．102B．－102C．98D．－1084．若(x2＋1)(x－2)11＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a13(x－1)13，则a1＋a2＋…＋a13＝________.14\n提醒：完成作业 专题七 第1讲14\n二轮专题强化练专题七第1讲 排列、组合、二项式定理A组 专题通关1．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A．224B．112C．56D．282．(2022·枣庄第八中学月考)将红、黑、蓝、黄4个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为( )A．18B．24C．30D．363．一个三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有( )A．72个B．120个C．240个D．360个4．(2022·湖北)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A．29B．210C．211D．2125．在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为( )A．6B．9C．12D．1814\n6．在二项式(x＋)n的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为( )A．5B．4C．3D．27．给一个正方体的六个面涂上4种不同的颜色(红、黄、绿、蓝)，要求相邻2个面涂不同的颜色，则所有涂色方法的种数为________．8．(2022·重庆)5的展开式中x8的系数是________(用数字作答)．9．已知(1＋2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝_______(用数字作答)．10．(2022·广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字做答)．B组 能力提高11．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有( )A．1260种B．2025种C．2520种D．5040种12．在二项式(x2－)n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为( )A．32B．－32C．0D．113．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有( )A．AAB．AAAC．CAAD．AAA14．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为___________．15．(2022·课标全国Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________________________________________________________________________.14\n16．若(1－2x)2016＝a0＋a1x＋…＋a2016x2016，则＋＋…＋的值为________．学生用书答案精析专题七 概率与统计第1讲 排列、组合、二项式定理高考真题体验1．B [由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A＝72个；若万位是4，则有2×A个＝48个，故比40000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.]2．C [方法一 利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.方法二 利用组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.]3．60解析 把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C种分法，再分给4人有A种分法，所以不同获奖情况种数为A＋CA＝24＋36＝60.4.14\n解析 设通项为Tr＋1＝Cx10－rar，令10－r＝7，∴r＝3，∴x7的系数为Ca3＝15，∴a3＝，∴a＝.热点分类突破例1 (1)A (2)A解析 (1)按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类．一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，故不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．(2)分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；当中间数为3时，有2×3＝6个；当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个．跟踪演练1 (1)C (2)B解析 (1)由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有CC＝75(种)．(2)因为值域为{0,1,2}，即ln(x2＋1)＝0⇒x＝0，ln(x2＋1)＝1⇒x＝±，ln(x2＋1)＝2⇒x＝±，所以定义域取值即在这5个元素中选取，①当定义域中有3个元素时，CCC＝4，②当定义域中有4个元素时，CC＝4，③当定义域中有5个元素时，有一种情况．所以共有4＋4＋1＝9(个)这样的函数．例2 (1)B (2)A解析 (1)先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA14\n＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．(2)∵|ak＋1－ak|＝1，k＝1,2,3，…，11，∴前一项总比后一项大1或小1，a1到a5中4个变化必然有3升1减，a5到a12中必然有5升2减，是组合的问题，∴C×C＝84.跟踪演练2 (1)B (2)45解析 (1)分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法，其他3个节目有A种排法，故有CA种排法．依分类加法计数原理，知共有A＋CA＝42(种)编排方案．(2)共8名医生，2个科类，要求每个科类至少1名医生，“骨科和内科医生都至少有1人”的对立事件是“全是骨科或全是内科医生”．若从这8名医生中任选3名，不同的选法有C种；其中全为骨科医生的选法只有1种，全为内科医生的选法有C种．所以所求选派方法有C－1－C＝56－1－10＝45(种)．例3 (1)C (2)B解析 (1)由题意易得：C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.(2)由通项公式，可得展开式中含x4的项为T8＋1＝C28－8(－1)8x4＝x4，故含x4的项的系数为1.令x＝1，得展开式的系数的和S＝1，故展开式中不含x4的项的系数的和为1－1＝0.跟踪演练3 (1)C (2)C解析 (1)二项式(2x＋)7的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－r·()r＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.(2)因为f(m，n)＝CC，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)14\n＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.高考押题精练1．A [可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A种．根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有AAA＝8(种)．故选A.]2．D [6名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种情况，由于王教练不去甲校，王教练自己去一个学校有C种，其余5名分成一人组和四人组有CA(种)，共CAC＝20(种)；王教练分配到四人组且该组不去甲校有CCA＝40(种)，则第一种情况共有20＋40＝60(种)．(2)对于第二种情况，王教练分配到一人组有CCAC＝40(种)，王教练分配到三人组有CCCA＝120(种)，王教练分配到两人组有CCCA＝80(种)，所以第二种情况共有40＋80＋120＝240(种)．(3)对于第三种情况，共有CCCC＝60(种)．综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)分配方案．]3．D [根据已知，令x＝1得2n＝16，即n＝4.二项展开式的通项公式是Tr＋1＝C(3x)4－r(－)r＝(－1)r34－r·Cx4－2r，当4－2r＝2时，即r＝1，此时可得含x2项的系数为－33×4＝－108.]4．2解析 记f(x)＝(x2＋1)(x－2)11＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a13(x－1)13，则f(1)＝a0＝(12＋1)(1－2)11＝－2.而f(2)＝(22＋1)(2－2)11＝a0＋a1＋a2＋…＋a13，即a0＋a1＋a2＋…＋a13＝0.所以a1＋a2＋…＋a13＝2.14\n二轮专题强化练答案精析专题七 概率与统计第1讲 排列、组合、二项式定理1．B [根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：CC＝112.]2．C [将4个小球放入3个不同的盒子，先在4个小球中任取2个作为1组，再将其与其他2个小球对应3个盒子，共有CA＝36种情况，若红球和蓝球放到同一个盒子，则黑、黄球放进其余的盒子里，有A＝6种情况，则红球和蓝球不放到同一个盒子的放法种数为36－6＝30种，故选C.]3．C [从0～9这10个数字中任选3个，有C种，这三个数字组成的凹数有A个，故共有CA＝240(个)．]4．A [由题意，C＝C，解得n＝10.则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选A.]5．B [令x＝1，得各项系数的和为4n，各项的二项式系数的和等于2n，根据已知，得方程4n＋2n＝72，解得n＝3.所以二项式的通项Tr＋1＝C()3－r()r＝3rCx，显然当r＝1时是常数项，这个常数是9.]6．C [二项展开式的前三项的系数分别为1，C·，C·()2，由其成等差数列，可得2C·＝1＋C·()2⇒n＝1＋，所以n＝8.所以展开式的通项Tr＋1＝C()rx.若为有理项，则有4－∈Z，所以r可取0,4,8，所以展开式中有理项的项数为3.]7．6解析 由于涂色过程中，要使用4种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的3组对面来说，必然有2组对面同色，1组对面不同色，而且3组对面具有“地位对等性”，因此，只需从4种颜色中选择2种涂在其中2组对面上，剩下的2种颜色分别涂在另外2个面上即可．因此共有C＝6(种)不同的涂法．8.解析 二项展开式通项为Tk＋1＝C(x3)5－kk＝kCx，令15－＝8，解得k＝2，因此x8的系数为2C＝.14\n9．729解析 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|相当于(1＋2x)6的展开式中各项系数绝对值的和，令x＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝36＝729.10．1560解析 依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1560条毕业留言．11．C [第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C种选派方法．根据分步乘法计数原理易得选派方法种数为C·C·C＝2520.]12．C [依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，解得n＝5.因此，令x＝1，则该二项展开式中的各项系数的和等于(12－)5＝0，故选C.]13．D [先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有AAA种．]14．260解析 如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4.如果使用2种颜色，则只能是第1,4个小方格涂一种，第2,3个小方格涂一种，方法种数是CA＝20；如果使用3种颜色，若第1,2,3个小方格不同色，第4个小方格只能和第1个小方格相同，方法种数是CA＝60，若第1,2,3个小方格只用2种颜色，则第4个方格只能用第3种颜色，方法种数是C×3×2＝60；如果使用4种颜色，方法种数是CA＝120.根据分类加法计数原理，知总的涂法种数是20＋60＋60＋120＝260.15．3解析 设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.16．－114\n解析 因为(1－2x)2016＝a0＋a1x＋…＋a2016x2016，令x＝，则(1－2×)2016＝a0＋＋＋…＋＝0.令x＝0，可得a0＝1.所以＋＋…＋＝－1.14
