云南师大附中2022届高考数学适应性月考试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据的标准差其中为样本平均数柱体体积公式其中为底面面积，为高锥体体积公式其中为底面面积，为高球的表面积，体积公式，其中为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（是虚数单位）化简的结果是A．B．C．D．2．已知集合，，则＝A．B．C．D．3．已知两条直线和平面，且在内，在外，则“∥”是“∥”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件开始结束输出是否4．已知等差数列中，，则数列的前17项和＝A．102B．36C．48D．515．阅读如图1所示的程序框图，则输出的的值是A．B．C．D．6．已知随机变量，则随机变量的方差＝15\nA．B．5C．D．25正视图侧视图俯视图11127．某四面体的三视图如图2所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是A．B．C．D．8．设变量满足约束条件目标函数，则的取值范围是A．B．C．D．9．定义在上的偶函数满足，且在区间上单调递增，已知是锐角三角形的两个内角，比较，的大小的结果是A．B．C．D．以上情况均有可能10．已知方程（为实常数）有两个不等实根，则实数的取值范围是A．B．C．D．11．在平面直角坐标系中，定义为两点，间的“折线距离”，在此定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个圆；③到，两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是．其中，正确的命题有A．3个B．2个C．1个D．0个15\n12．已知点在圆上，点在双曲线的右支上，是双曲线的左焦点，则的最小值为A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知，且，则＝．14．已知向量与的夹角为30°，且，则的最小值是．15．已知函数，令，当，且时，满足条件的所有的值的和为．16．以为直径的圆有一内接梯形，且∥．以、为焦点的椭圆恰好过、两点，当梯形的周长最大时，此椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，点在直线上．（1）求数列的通项；（2）令，试求数列的前项和．ABCEFB1C1A118．（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱中，△为等腰直角三角形，，且，、分别为、的中点．（1）求证：⊥平面；（2）当时，求点到平面的距离．15\n19．（本小题满分12分）近年空气质量逐渐恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染会引起多种心肺疾病．空气质量指数（AQI）是国际上常用来衡量空气质量的一种指标，空气质量指数在为优良，在为中等，在为轻度污染，在为中度污染，……．某城市2022年度的空气质量指数为110（全年平均值），对市民的身心健康产生了极大影响，该市政府为了改善空气质量，组织环保等有关部门经过大量调研，准备采用两种方案中的一种治理大气污染，以提高空气质量．根据发达国家以往的经验，若实施方案一，预计第一年度可使空气质量指数降为原来的0.8，0.7，0.6的概率分别为0.5，0.3，0.2，第二年度使空气质量指数降为上一年度的0.7，0.6的概率分别为0.6，0.4；若实施方案二，预计第一年度可使空气质量指数降为原来的0.8，0.7，0.5的概率分别为0.6，0.3，0.1，第二年度使空气质量指数降为上一年度的0.7，0.6的概率分别为0.5，0.5．实施每种方案，第一年与第二年相互独立，设（）表示方案实施两年后该市的空气质量指数（AQI）．（1）分别写出，的分布列（要有计算过程）；（2）实施哪种方案，两年后该市的空气质量达到优良的概率更大？20．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为，是焦点．过点的直线与抛物线交于，两点，直线，分别交抛物线于点，．（1）求抛物线的方程及的值；（2）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．21．（本小题满分12分）已知函数，，其中且．（1）判断函数的单调性；（2）当时，求函数在区间上的最值；（3）设函数当时，若对于任意的，总存在唯一的，使得成立，试求的取值范围．15\n请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】ABCDHGFPO如图4，已知是圆的两条平行弦，过点引圆的切线与的延长线交于点，为上的一点，弦分别与交于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知椭圆的极坐标方程为，点，为其左右焦点．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数，）．（1）求直线的普通方程和椭圆的直角坐标方程；（2）求点，到直线的距离之和．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】已知函数．（1）当时，求函数的定义域；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围．云南师大附中2022届高考适应性月考卷（八）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BBBDBCDAABB【解析】15\n4．，，．故选D．5．依题意，知…….故选B．图16．随机变量服从二项分布，所以方差．故选C．7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥，其中，由俯视图可知，，，故选D．8．，用线性规划，可求得的范围是，所以．故选A．9．，周期，因为在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，又在R上是偶函数，所以在区间上单调递减．因为是锐角三角形的两个内角，有，即，，从而，．故选A．10．，令，直线过定点，设直线与的切点为，由于，所以，切线斜率，图2当时，直线与的图象有2个交点．15\n11．设到原点的“折线距离”为1的点为，则，其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误；设到两点的“折线距离”相等的点为，则，从而，所以③正确．故选B．12．设双曲线的右焦点为，则，由双曲线定义知，，当共线时，，．故选B．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案354图3【解析】14．如图3所示，点C的轨迹为射线（不含端点A），当时，．15．，，，，所以，值组成的集合为，．16．不妨设，圆心为O，，则，梯形ABCD的周长为15\n，当时，梯形ABCD的周长最大，此时，，椭圆的离心率．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点在直线上，所以，，，化简得，所以数列为等比数列，公比，由得，故．……………………………………………（6分）（Ⅱ）因为，所以，①，②①②得，………（8分）．……………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱中，不妨设，为等腰直角三角形，，15\n，E、F分别为BC、的中点，，，，有，，又平面ABC，，，平面AEF．……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，，，………………………………………………………（8分），，在中，，，………………（10分）设点到平面的距离为，则，所以，即点到平面的距离为1．………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，的可能取值为：；…………（1分）15\n因为第一年与第二年相互独立，所以，，，，．…………………………………………………（3分）所以，的分布列为：………………………………………………………………………（4分）的可能取值为：；…………………………（5分），，，，，，…………………（7分）所以，的分布列为：0.050.050.150.300.150.30…………………………………………………………………………（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，，所以，实施方案一，两年后该市的空气质量达到优良的概率更大．…………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：依题意，设抛物线方程为，由准线，得，所以抛物线方程为．………………………………………………（2分）15\n设直线的方程为，代入，消去，整理得，从而．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：设，则．…………………（8分）设直线的方程为，代入，消去，整理得，所以，同理．………………………………………………………………（10分）故，为定值．…………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，，当时，或，所以在上单调递增；在上单调递减．当时，或，所以在上单调递减；在上单调递增．…………（4分）（Ⅱ）当时，在上单调递减．由（Ⅰ）知，在上单调递减，所以在上单调递减．15\n；．………………………………………………………（8分）（Ⅲ）当，时，，由（Ⅰ）知在上单调递减，从而，即；……………………………………（9分）当，时，，在上单调递增，从而，即．……………………………（10分）对于任意的，总存在唯一的，使得成立，只需，即成立即可．记函数，易知在上单调递增，且，所以的取值范围为．…………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵与圆切于点，∴，∵，∴．在和中，∴∽，………………………………………………………………（2分）∴．又∵，15\n∴．……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：∵，∴．又∵，∴四边形为平行四边形，………………………………………………（7分）∴，∴，∴，∴．∵是⊙的切线，∴，．………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由的参数方程消去，得，故直线的普通方程为．…………………………………………（2分）由，而所以，即，故椭圆的直角坐标方程为．……………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，点到直线的距离，点到直线的距离，，所以点到直线的距离之和为．…………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）当时，要使函数有意义，需恒成立．15\n，所以函数的定义域为．……………………………（5分）（Ⅱ）函数的值域为R，需要能取到所有正数，即．由易知，故，得，所以实数的取值范围为．……………（10分）云南师大附中2022届高考适应性月考卷（八）·双向细目表理科数学题号题型分值试题内容难易程度备注1选择题5分复数易2选择题5分集合易3选择题5分立体几何易4选择题5分数列易5选择题5分程序框图易6选择题5分概率与统计易7选择题5分三视图易8选择题5分线性规划中9选择题5分函数与三角中10选择题5分函数中11选择题5分解析几何中15\n12选择题5分解析几何难13填空题5分三角易14填空题5分向量易15填空题5分函数中16填空题5分函数、解析几何难17解答题12分数列易18解答题12分立体几何易19解答题12分概率中20解答题12分圆锥曲线中21解答题12分导数应用难22解答题10分平面几何中23解答题10分参数方程中24解答题10分不等式中命题思想达成目标优秀率及格率平均分5%60%90～1001.检查双基的掌握情况，常规解题方法。2.突出体现函数思想、数形结合、分类讨论、特值思想。15
