上海市2022届高三下学期高考压轴卷数学文试题考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.函数的定义域为.2.复数满足（其中为虚单位），则.3.已知,,向量与的夹角为,则.4.直线被圆截得的弦长为．5.在等差数列中，若，前5项的和，则.6.若函数是奇函数，则.7.已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为.8.不等式组表示的平面区域的面积是.9.直线的参数方程是（其中为参数），圆的极坐标方程为，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是.10.若直线与圆有公共点，则实数取值范围是.11.在中，若，则.12.设，则的值为..13.平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点10\n，则点取自内部的概率为.14.给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①的定义域是，值域是；②点是的图像的对称中心，其中；③函数的最小正周期为1；④函数在上是增函数．则上述命题中真命题的序号是．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.已知函数则下面结论中正确的是（ ）A.是奇函数B.的值域是C.是偶函数D.的值域是16.已知在区间上有反函数，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.17.已知锐角满足,则的最大值为（）A.B.C.D.18.已知椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（）A.B.C.D.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.①；②；③；④；⑤.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个,求出常数；10\n（Ⅱ）根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.20.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题8分.如图,在长方体中,,点在棱上.（Ⅰ）求异面直线与所成的角；（Ⅱ）若二面角的大小为,求点到平面的距离.21.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题8分.某药厂在动物体内进行新药试验．已知每投放剂量为的药剂后，经过小时该药剂在动物体内释放的浓度(毫克/升)满足函数，其中．当药剂在动物体内中释放的浓度不低于(毫克/升)时，称为该药剂达到有效．（Ⅰ）若，试问该药达到有效时，一共可持续多少小时（取整数小时）?（Ⅱ）为了使在8小时之内（从投放药剂算起包括8小时）达到有效，求应该投放的药剂量的最小值（取整数）.22.(本题满分16分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题6分.已知椭圆的左，右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线.设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；（Ⅲ）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围.23.(本题满分18分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）10\n小题8分.设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）在集合中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）请构造一个与数列有关的数列，使得存在，并求出这个极限值．2022上海市高考压轴卷文科数学试题答案及解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.【答案】.【解析】由得.2.【答案】【解析】3.【答案】4.【答案】【解析】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，圆心到直线10\n的距离，所以弦长.5.【答案】【解析】在等差数列中，，解得，所以.6.【答案】【解析】因为函数为奇函数，所以，即。7.【答案】3【解析】第一次循环有；第二次循环有；第三次循环有；此时满足条件，输出.8.【答案】【解析】不等式组表示的区域为三角形，由题意知，所以平面区域的面积。9.【答案】【解析】，，，即，．，圆心C到距离是，∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是10.【答案】【解析】圆的圆心到直线的距离为，则11.【答案】【解析】由余弦定理得，即整理得，解得。12.【答案】1【解析】令则有13.【答案】10\n【解析】,根据几何概型可知点取自△内部的概率为，其中为平行四边形底面的高。14.【答案】①③【解析】①中，令，所以。所以正确。②，所以点不是函数的图象的对称中心，所以②错误。③，所以周期为1，正确。④令，则，令，则，所以，所以函数在上是增函数错误。，所以正确的为①③二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.【答案】D【解析】在坐标系中，做出函数的图象如图，由图象可知选D.16.【答案】D【解析】在区间上有反函数.在区间上是单调函数，则有在区间上恒成立，即故选D.17.【答案】D【解析】，又，则则.【注】直接按和角公式展开也可.18.【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，由可得,椭圆方程为10\n，而渐近线与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形,设在一象限的小正方形边长为，则，从而点（2,2）在椭圆上,即：.于是.椭圆方程为，答案应选D。三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分.解:(Ⅰ）选择②式计算:.（Ⅱ）猜想的三角恒等式为:.证明:.20.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题8分.如图,在长方体中,点在棱上.（Ⅰ）求异面直线与所成的角；（Ⅱ）若二面角的大小为,求点到平面的距离.解法一:(1)连结.由是正方形知.∵平面,∴是在平面内的射影.根据三垂线定理得,则异面直线与所成的角为.（Ⅱ）作,垂足为,连结,则.所以为二面角的平面角,.于是,易得,所以,又,所以.设点到平面的距离为,则由于即,因此有,即,∴.解法二:如图,分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.（Ⅰ）由,得,设,又,则.∵∴,则异面直线与所成的角为.10\n（Ⅱ）为面的法向量,设为面的法向量,则,∴.①由,得,则,即,∴②由①、②,可取,又,所以点到平面的距离.21.(本题满分14分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题8分.解：（Ⅰ）时，当时，，显然符合题意当时，通过计算器由解得：综上，所以该药剂达到有效时，一共可持续7小时.（Ⅱ）由=可知在区间上有，即，在区间上单调递减，即，为使恒成立，只要且即且，求得：.答：为了使在8小时之内达到有效，投放的药剂剂量的最小值为．22.(本题满分16分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题6分.解：（Ⅰ）依题意可得，双曲线的焦距为，，双曲线的方程为（Ⅱ）证明：设点、（，），直线的斜率为（），则直线的方程为’联立方程组整理，得---6’10\n解得或同理方程组可得：为一定值’（Ⅲ）设点、（，），则，．，，即点在双曲线上，则，所以，即又点是双曲线在第一象限内的一点，所以，’由（2）知，，即，设，则，，在上单调递减，在上单调递增’当，即时，当，即时，的取值范围为’23.(本题满分18分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题8分.解：（Ⅰ）由题意得，①，当时，，解得，当时，有②，①式减去②式得，于是，，因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以的通项公式为（）．（Ⅱ）设存在满足条件的正整数，则，，，又，，…，，，，…，，所以，，…，均满足条件，它们组成首项为，公差为的等差数列．设共有个满足条件的正整数，则，解得．10\n所以，中满足条件的正整数存在，共有个，的最小值为．（Ⅲ）设，即，则，其极限存在，且．注：（为非零常数），（为非零常数），（为非零常数，）等都能使存在．10
