【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第2章第6节幂函数与函数的图象变换新人教A版一、选择题1．(文)已知函数①y＝3x；②y＝lnx；③y＝x－1；④y＝x.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是( )A．②①③④ B．②③①④C．④①③② D．④③①②[答案] D[解析] ①y＝3x为单调增的指数函数，其图象为第三个图，排除A、C；②y＝lnx为单调增的对数函数，其图象为第四个图，排除B，故选D．(理)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为( )A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)[答案] C[解析] y＝f(－|x|)＝2．(文)(2022·山东临沂月考)幂函数f(x)＝xα的图象过点(2,4)，那么函数f(x)的单调递增区间是( )A．(－2，＋∞) B．[－1，＋∞)C．[0，＋∞) D．(－∞，－2)[答案] C[解析] 因为函数过点(2,4)，所以4＝2α，α＝2，故f(x)＝x2，单调增区间为[0，＋∞)，选C．(理)(2022·湖北孝感调研)函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是( )A．－1 B．2-15-\nC．3 D．－1或2[答案] B[解析] f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒m＝－1或m＝2.又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.[点评] 在研究幂函数y＝xα的图象、性质时，应考虑α的三种情况：α>0，α＝0和α<0.幂函数的图象一定出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，与坐标轴相交时，交点一定是原点．3．给出以下几个幂函数fi(x)(i＝1,2,3,4)，其中f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝.若gi(x)＝fi(x)＋3x(i＝1,2,3,4)．则能使函数gi(x)有两个零点的幂函数有( )A．0个 B．1个C．2个 D．3个[答案] B[解析] 函数gi(x)的零点就是方程gi(x)＝0的根，亦即方程fi(x)＋3x＝0的根，也就是函数fi(x)与y＝－3x的图象的交点，作出函数fi(x)(i＝1,2,3,4)的图象，可知只有f2(x)的图象与y＝－3x的图象有两个不同的交点，故能使gi(x)有两个零点的幂函数只有f2(x)，选B．4．(文)(2022·江南十校联考)函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是( )[答案] B[解析] 当x>0时，y＝log2(x＋1)，先画出y＝log2x的图象，再将图象向左平移1个单位，最后作出关于y轴对称的图象，得与之相符的图象为B．(理)(2022·福建泉州模拟)函数y＝ln的图象为( )[答案] A-15-\n[解析] 由函数定义域易知2x－3≠0，即x≠，排除C，D项．当x>时，函数为减函数，当x<时，函数为增函数，据此排除B，选A．[点评] 识别函数的图象是一项重要的基本功，可从其奇偶性、特殊点入手排除；也可从其定义域、变化率入手排除；也可以借助基本初等函数研究其零点和函数值的符号变化规律．①(2022·福建高考)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )[答案] A[解析] 本题考查函数的图象与性质．∵f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，排除C．∵x2＋1≥1，则ln(x2＋1)≥0，且当x＝0时f(0)＝0，所以排除B、D，选A．②函数y＝2x－x2的图象大致是( )[答案] A[解析] 本题考查了函数图象的性质，考查了学生的识图能力，以及对函数知识的把握程度和数形结合的思维能力，令2x＝x2，y＝2x与y＝x2，由图看有3个交点，∴B、C排除，又x＝－2时2－2－(－2)2<0，故选A．③(2022·浙江)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )[答案] D-15-\n[解析] 根据对数函数性质知，a>0，所以幂函数是增函数，排除A(利用(1,1)点也可以排除)；选项B从对数函数图象看0<a<1，与幂函数图象矛盾；选项C从对数函数图象看a>1，与幂函数图象矛盾，故选D．④(2022·山东日照一模)现有四个函数①y＝x·sinx，②y＝x·cosx，③y＝x·|cosx|，④y＝x·2x的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数符号正确的一组是( )A．①④②③ B．①④③②C．④①②③ D．③④②①[答案] A[解析] ①y＝x·sinx在定义域上是偶函数，其图象关于y轴对称，对应第一个图；②y＝x·cosx在定义域上是奇函数，共图象关于原点对称；③y＝x·|cosx|在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x>0时，其函数值y≥0，对应第四个图；④y＝x·2x在定义域上为非奇非偶函数，且当x>0时，其函数值y>0，且当x<0时，其函数值y<0，对应第二个图．故选A．要结合函数特点，图象特征确定分析的切入点，注意平时练习中总结规律、减少盲目性．⑤(2022·云南名校一联)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是( )[答案] A[解析] 由函数f(x)在R上是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，即(k－1)a－x－ax＝(1－k)ax＋a－x，∴k＝2.∴f(x)＝ax－a－x.又f(x)在R上是减函数，∴0<a<1.∴g(x)＝loga(x＋2)的图象应是A．5．(2022·唐山月考)为了得到函数y＝log2的图象，可将函数y＝log2x的图象上所有的点( )A．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位-15-\nB．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向左平移1个单位C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位[答案] A[解析] y＝log2＝log2(x－1)＝log2(x－1)，由y＝log2x的图象纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可得y＝log2x的图象，再向右平移1个单位，可得y＝log2(x－1)的图象，也即y＝log2的图象，故选A．[点评] 识画函数图象是学习和研究函数的基本功之一．变换法作图是应用基本函数的图象，通过平移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的图象．应用变换法作图，要求我们熟记基本函数的图象及其性质，准确把握基本函数的图象特征，熟练地进行平移、伸缩、对称变换．(1)平移变换①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位而得到．②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到．(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．⑤y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．⑥y＝f(|x|)的图象可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0的图象．(3)伸缩变换①y＝Af(x)(A＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到．-15-\n①利用平移识图函数y＝的图象是( )[答案] B[解析] ∵y＝＝1－，∴将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－的图象．②利用对称变换画图函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝________.[答案] 4[解析] f1(x)＝|4x－x2|，f2(x)＝a，则函数图象恰有三个不同的交点．如图所示，当a＝4时满足条件．6．(文)(2022·长春模拟)函数f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若f(3)g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系下的图象可能是( )[答案] C[分析] 根据指数函数、对数函数的性质判断a的取值范围，再作出判断．[解析] ∵f(x)＝ax>0恒成立，且f(3)g(3)<0，∴g(3)<0，即loga3<0，∴0<a<1，因此图象为C．(理)(2022·安徽合肥三模)函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图．-15-\n则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )[答案] A[分析] 根据图象可知f(x)和g(x)分别为偶函数和奇函数，结合函数的其他性质，如最值点及其他特殊值即可做出判断．[解析] (1)从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排除B．又∵g(x)的定义域为{x|x≠0}，故排除C，D．应选A．二、填空题7．(文)幂函数y＝f(x)的图象过点，那么f′(8)的值为________．[答案] －[解析] 设f(x)＝xα，由条件知＝4α，∴α＝－，∴f(x)＝x－，∴f′(x)＝－x－，∴f′(8)＝－.(理)若幂函数f(x)的图象经过点A，设它在A点处的切线为l，则过点A与l垂直的直线方程为________．[答案] 4x＋4y－3＝0[解析] 设f(x)＝xα，∵f(x)图象过点A，∴α＝，∴α＝.∴f(x)＝x，∴f′(x)＝，∴f′＝1，故切线的斜率为1，从而与l垂直的直线斜率为－1，故过A与l垂直的直线方程为y－＝－1×，即4x＋4y－3＝0.-15-\n8．已知函数f(x)＝x的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，则最小的自然数a＝________.[答案] 3[解析] ∵f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠0}，∴<0，∴a>1.又∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)为偶函数，∵a∈N，∴a的最小值为3.9．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．[答案] (－∞，1)[解析] 在同一直角坐标系内画出函数y＝f(x)和y＝x＋a的图象如图可知a<1.三、解答题10．(文)点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，当x分别为何值时，有f(x)>g(x)，f(x)＝g(x)，f(x)<g(x)成立？[解析] 设f(x)＝xα，则由题意得2＝()α，∴α＝2，即f(x)＝x2.再设g(x)＝xβ，则由题意得＝(－2)β，∴β＝－2，即g(x)＝x－2.在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．由图象可知：①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；③当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．(理)已知幂函数f(x)的图象过点(，2)且幂函数g(x)＝xm2－2m－2(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称．-15-\n(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)当x为何值时①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．[解析] (1)设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点(，2)，∴2＝()α，∴α＝2，∴f(x)＝x2；又g(x)＝xm2－m－2的图象与x轴、y轴都无公共点，∴m2－m－2≤0，∴－1≤m≤2.∵m∈Z，∴m＝0或±1或2，当m＝0或1时，g(x)＝x－2是偶函数，图象关于y轴对称，当m＝－1或2时，y＝x0也满足，故g(x)＝x－2或g(x)＝x0.(2)若g(x)＝x0＝1，则由f(x)>g(x)得，x2>1，∴x>1或x<－1.故x>1或x<－1时，f(x)>g(x)，x＝±1时，f(x)＝g(x)，－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．若g(x)＝x－2，则由f(x)>g(x)得，x2>，∴x4>1，∴x>1或x<－1，故当x>1或x<－1时，有f(x)>g(x)；当x＝±1时，f(x)＝g(x)；当－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．综上知，x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；x＝±1时，f(x)＝g(x)；－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．一、选择题11．(文)(2022·甘肃部分示范学校调研)函数f(x)＝ln(x－)的图象是( )[答案] B[解析] 自变量x满足x－＝>0，当x>0时可得x>1，当x<0时可得－1<x<0，即函数f(x)的定义域是(－1,0)∪(1，＋∞)，据此排除选项A、D．函数y＝x－单调递增，故函数f(x)＝ln(x－)在(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增，故选B．(理)(2022·山东济南质检)函数y＝的图象大致是( )-15-\n[答案] C[解析] 由于＝－，所以f(－x)＝－f(x)，函数y＝是奇函数，其图象关于原点对称，排除B．当x>1时，y>0，当x<－1时，y<0.排除A；当x>0时，y＝.又y′＝，由y′＝0得x＝2，当0<x<2时，y′>0，当x>2时，y′<0，∴原函数在(0,2)上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．结合选项可知选C．12．(2022·浙江杭州一模)设函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是( )A．(，6] B．(，)C．(，] D．(，6)[答案] D[解析] 因为y＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3，所以对称轴为x＝3.当3x＋4＝－3时，x＝－，所以要使互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则有－3<f(x1)＝f(x2)＝f(x3)<4，如图所示．不妨设x1<x2<x3，则有－<x1<0，＝3，x2＋x3＝6，所以<x1＋x2＋x3<6，所以x1＋x2＋x3的取值范围是(，6)，故选D．[点评] 1.解决本类题的思路是：先在同一坐标系下画出函数y＝f(x)的图象，然后假设x1，x2，x3的大小关系，结合图象求出x1，x2，x3的大致范围，进而求出答案．2．应用函数图象可解决下列问题(1)利用函数的图象研究函数的性质-15-\n对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．(2)利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标．(3)利用函数的图象研究不等式当不等问题不能直接用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下位置关系问题，从而利用数形结合求解．13．(文)(2022·黄冈模拟)已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为( )A．，2 B．，4C．， D．，4[答案] A[解析] 观察f(x)的图象结合条件0<m<n，f(m)＝f(n)可知0<m2<m<1<n，∵f(x)在[m2，n]上的最大值为2，∴|log2m2|＝2，∴m＝，又∵f(m)＝f(n)，∴－log2m＝log2n，∴mn＝1，∴n＝2，故选A．(理)用min{a，b}表示a、b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－对称，则t的值为( )A．－2 B．2C．－1 D．1[答案] D[解析] 如图，要使f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－对称，则t＝1.14．(文)(2022·甘肃临夏中学期中、宁都一中月考)已知a>b，函数f(x)＝(x－a)·(x－-15-\nb)的图象如图所示，则函数g(x)＝loga(x＋b)的图象可能为( )[答案] B[解析] 由a>b及函数f(x)＝(x－a)(x－b)的图象可知，a>1,0<b<1，所以排除A，D；函数g(x)的图象是由函数u(x)＝logax的图象向左平移b个单位得到的，故选B．(理)(2022·南丰调研)定义：“函数f(x)为区间D上的凹函数当且仅当f(x)满足以下两条规则：(1)对∀x∈D，f(x)都有意义；(2)对于区间D上的任意n个值x1，x2，…，xn，总满足f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)≥nf()，那么下列四个图象中，在[0，]上满足凹函数定义的是( )[答案] A[解析] 要判断是不是凹函数，需要先明确凹函数的定义，由定义的第一点可以排除D，在A，B，C这三个选项中可以考虑特殊值法．取x1＝0，x2＝，则显然选项B，C不满足f(x1)＋f(x2)≥2f()，故选A．二、填空题15．幂函数y＝x(p∈Z)为偶函数，且f(1)<f(4)，则实数p＝________.[答案] 1[解析] ∵f(1)<f(4)，∴－p2＋p＋>0，-15-\n∴－1<p<3，∵p∈Z，∴p＝0,1或2，又此幂函数为偶函数，∴p＝1.16．(文)函数y＝x3与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，x0所在区间是(a，b)，a、b为相邻的整数，则a＋b＝______.[答案] 3[解析] ∵y1＝x3单调增，y2＝x－2单调减，当x＝1时，y1＝1，y2＝2，y1<y2；当x＝2时，y1＝8，y2＝1，y1>y2，∴两函数图象交点坐标x0∈(1,2)，故a＝1，b＝2，a＋b＝3.(理)(2022·衡阳联考)设f(x)＝|2－x2|，若0<a<b，满足f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是________．[答案] (0,2)[解析] ∵0<a<b，f(a)＝f(b)，∴2－a2＝b2－2，即a2＋b2＝4，又a2＋b2>2ab，∴0<ab<2.三、解答题17．(2022·临沂月考)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．[分析] 对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．[解析] (1)由f(0)＝1得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴∴因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.-15-\n因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．18．(文)(2022·韶关调研)已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．[解析] (1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，则2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－.∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，∴a的取值范围是[3，＋∞)．(理)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，有f(x)≤2.(1)求f(1)的值；(2)证明a>0，c>0；(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx(x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1.[解析] (1)对x∈R，f(x)－x≥0恒成立，当x＝1时，f(1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤2＝1，∴1≤f(1)≤1，∴f(1)＝1.(2)证明：∵f(1)＝1，f(－1)＝0，∴a＋b＋c＝1，a－b＋c＝0，∴b＝.∴a＋c＝.-15-\n∵f(x)－x≥0对x∈R恒成立，∴ax2－x＋c≥0对x∈R恒成立，∴∴∴c>0，故a>0，c>0.(3)证明：∵a＋c＝，ac≥，由a>0，c>0及a＋c≥2，得ac≤，∴ac＝，当且仅当a＝c＝时，取“＝”．∴f(x)＝x2＋x＋.∴g(x)＝f(x)－mx＝x2＋x＋＝[x2＋(2－4m)x＋1]．∵g(x)在[－1,1]上是单调函数，∴2m－1≤－1或2m－1≥1，∴m≤0或m≥1.-15-
