【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件北师大版一、选择题1．(文)若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充要条件．a＝1成立，则|a|＝1成立．但|a|＝1成立时a＝1不一定成立，所以a＝1是|a|＝1的充分不必要条件．(理)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 本小题考查的内容是充分与必要条件的判定．若a＝1，则N＝{1}，∴N⊆M，反之不成立．2．(文)命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )A．1B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题：若a>－6，则a>－3为假命题，则否命题也为假命题，故选B.(理)若命题p的逆命题是q，否命题是r，则命题q是命题r的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题 D．不等价命题[答案] C[解析] 因为命题p的逆命题是q，即命题q的逆命题是p，又p的否命题是r，所以命题q是命题r的逆否命题，故选C.3．(2022·天津高考)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．其中真命题的序号是( )A．①②③B．①②-6-\nC．①③ D．②③[答案] C[解析] 统计知识与直线和圆的位置关系的判断．对于①，设球半径为R，则V＝πR3，r＝R，∴V1＝π×(R)3＝＝V，故①正确；对于②，两组数据的平均数相等，标准差一般不相等；对于③，圆心(0,0)，半径为，圆心(0,0)到直线的距离d＝，故直线和圆相切，故①、③正确．4．(文)a<0，b<0的一个必要条件是( )A．a＋b<0B．a－b>0C.>1 D.<－1[答案] A[解析] 由a<0，b<0可得a＋b<0，所以a<0，b<0的一个必要条件是a＋b<0，故选A.(理)对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考查平面向量平行的条件．∵a＋b＝0，∴a＝－b.∴a∥b.反之，a＝3b时也有a∥b，但a＋b≠0.故选A.5．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中真命题是( )A．①②B．②③C．①③ D．③④[答案] C[解析] 写出相应命题并判定真假．①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；②“不相似三角形的周长不相等”为假命题；③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b>－1”为真命题；④“若A⊉B，则A∪B≠B”为假命题．6．(文)“m＝1”是“直线x－y＝0和直线x＋my＝0互相垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 两直线垂直的充要条件是1－m＝0，即m＝1，故选C.(理)“sinα＝”是“cos2α＝”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件-6-\n[答案] A[解析] 本题主要考查充要条件和三角公式．∵cos2α＝1－2sin2α＝，∴sinα＝±，∴sinα＝⇒cos2α＝，但cos2α＝⇒sinα＝，∴“sinα＝”是“cos2α＝”的充分而不必要条件．二、填空题7．(2022·本溪质检)在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．[答案] 3[解析] 原命题为假命题，所以逆否命题也是假命题，逆命题“若m2>n2，则m>－n”，也是假命题，从而否命题也是假命题．8．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．[答案] [－3,0][解析] ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得，解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.9．设有如下三个命题：甲：m∩l＝A，m，lα，m，l⃘β；乙：直线m，l中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时，乙是丙的__________条件．[答案] 充要[解析] 由题意乙⇒丙，丙⇒乙．故当甲成立时乙是丙的充要条件．三、解答题10．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．[解析] (1)由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10.∴P＝{x|－2≤x≤10}，∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S，∴∴∴这样的m不存在．(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，∴∴m≤3.综上可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.一、选择题1．(文)有下列命题：①两组对应边相等的三角形是全等三角形；-6-\n②“若xy＝0，则|x|＋|y|＝0”的逆命题；③“若a>b，则2x·a>2x·b”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有( )A．1个B．2个C．3个 D．4个[答案] B[解析] ①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题．(理)下列命题中，假命题为( )A．存在四边相等的四边形不是正方形B．z1，z2∈C，z1＋z2为实数的充分必要条件是z1，z2互为共轭复数C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1D．对于任意n∈N＋，C＋C＋…＋C都是偶数[答案] B[解析] 本题考查了命题的真假判断，选项A中，菱形满足条件，选项B中只需z1与z2的虚部互为相反数即可，故B错；选项C、D显然正确，故选B.2．(文)(2022·北京高考)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[答案] D[解析] 本题考查充分必要条件．a>ba2>b2，如a＝0，b＝－1；a2>b2a>b，如a＝－5，b＝3.举特例是解决充要条件的好方法．(理)(2022·北京高考)设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[答案] D[解析] 对于等比数列{an}，若q>1，则当a1<0时有{an}为递减数列．故“q>1”不能推出“{an}为递增数列”．若{an}为递增数列，则{an}有可能满足a1<0且0<q<1，推不出q>1.综上，“q>1”为“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D.二、填空题3．(文)设集合A＝{x|<0}，B＝{x|x2－4x<0}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．[答案] 充分不必要[解析] 若m∈A，则<0，∴0<m<1.若m∈B，则m2－4m<0，即0<m<4.故“m∈A”是“m∈B”的充分条件．取m＝2，则＝2，于是<0不成立，所以m∈A不成立．故“m∈A”不是“m∈B”的必要条件．综上所述，“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．(理)对于下列四个结论：-6-\n①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件．其中，正确结论的序号是________．[答案] ①②④[解析] ∵“A⇐B”，∴“非A⇒非B”，故①正确．“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件是，故②正确．∵x≠1⇒x2≠1，例如x＝－1，故③错误．∵x＋|x|>0⇒x≠0，但x≠0⇒x＋|x|>0，例如x＝－1.故④正确．4．在“a，b是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a2－4b≥0”，给出下列命题：①若a2－4b≥0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集；②若a2－4b<0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集；③若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集，则a2－4b<0；④若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集，则a2－4b<0；⑤若a2－4b<0，则不等式x2＋ax＋b≤0的解集是非空数集；⑥若不等式x2＋ax＋b≤0的解集是空集，则a2－4b≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)．[答案] ①③②④[解析] “非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，题目的答案是①③②④.三、解答题5．(文)已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围．[解析] 因为“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅.设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，则U＝{m|m≤－1或m≥}．假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有⇒⇒m≥.又集合{m|m≥}关于全集U的补集是{m|m≤－1}，所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．(理)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．(1)求证：“如果直线l过点(3,0)，那么·＝3”是真命题．(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解析] (1)设l：x＝ty＋3，代入抛物线y2＝2x，消去x得y2－2ty－6＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝2t，y1·y2＝－6，-6-\n·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＋y1y2＝－6t2＋3t·2t＋9－6＝3.∴·＝3，故为真命题．(2)(1)中命题的逆命题是：“若·＝3，则直线l过点(3,0)”它是假命题．设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝2x，消去x得y2－2ty－2b＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1·y2＝－2b.∵·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－2bt2＋bt·2t＋b2－2b＝b2－2b，令b2－2b＝3，得b＝3或b＝－1，此时直线l过点(3,0)或(－1,0)．故逆命题为假命题．6．(文)求证：方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件充分吗？为什么？[解析] ∵方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)有两实根，则Δ＝a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2.设方程x2＋ax＋1＝0的两实根分别为x1，x2，则∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2≥3.∴|a|≥>.∴方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>；但当a＝2时，x＋x＝2≤3.因此这个条件不是其充分条件．(理)已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．[解析] (1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是{a|－3≤a≤5}．(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0.故a＝0是M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件．-6-
