【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第12章第3节不等式选讲新人教B版一、选择题1．(2022·福建福州模拟)设ab>0，下面四个不等式中，正确的是( )①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.A．①和② B.①和③C．①和④D.②和④[答案] C[解析] ∵ab>0，∴a与b同号，∴|a＋b|＝|a|＋|b|>|a|>|a|－|b|，故①正确，②错误，④正确，故选C.2．已知M＝a2＋b2，N＝ab＋a＋b－1，则M，N的大小关系为( )A．M>NB.M<NC．M≥ND.M≤N[答案] C[解析] ∵(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)＝a2＋b2－ab－a－b＋1＝(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2)＝[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)]＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1，故选C.3．(2022·济南模拟)对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为( )A．[0，＋∞)B.(0,2)C．[0,2)D.(0，＋∞)[答案] A[解析] 如图，|BC|＝2－(－10)＝12，|AB|＝10，|AC|＝2，当点P在点A右侧时|PB|－|PC|>8，∴x≥0.4．(2022·临沂质检)不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )A．[－1,4]B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[－2,5]D.(－∞，－1)∪[4，＋∞)[答案] A[解析] ∵f(x)＝|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，∴a2－3a≤4，∴－1≤a≤4.5．已知命题p：∀x∈R，|x＋2|＋|x－1|≥m，命题q：∃x∈-5-\nR，x2－2mx＋m2＋m－3＝0，那么，“命题p为真命题”是“命题q为真命题”的( )A．充要条件B.必要不充分条件C．充分不必要条件D.既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由绝对值不等式的几何性质可知，∀x∈R，|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，故若命题p为真命题，则m≤3；当命题q为真命题时，方程x2－2mx＋m2＋m－3＝0有根，则Δ＝(－2m)2－4(m2＋m－3)＝12－4m≥0，解得m≤3；所以“命题p为真命题”是“命题q为真命题”的充要条件．6．若a，b∈R且a≠b，则在①a2＋ab>2b2；②a5＋b5>a3b2＋a2b3；③a2＋b2≥2(a－b－1)；④＋>2.这四个式子中一定成立的有( )A．4个B.3个C．2个D.1个[答案] D[解析] ①中a2＋ab－2b2＝(a＋)2－b2>0不一定成立，②中a5＋b5－a3b2－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)．当a＋b<0时，不等式不成立，③中a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0故③成立，④中ab<0时不成立，故只有③正确．二、填空题7．(2022·重庆五区抽测)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围为________．[答案] (－∞，－6]∪[2，＋∞)[解析] 根据题意，不等式|x＋2|＋|x－m|－4≥0恒成立，所以(|x＋2|＋|x－m|－4)min≥0.又|x＋2|＋|x－m|－4≥|m＋2|－4，所以|m＋2|－4≥0⇒m≤－6，或m≥2.8．(2022·天津)设a＋b＝2，b>0，则＋的最小值为________．[答案] [解析] 因为＋＝＋≥＋2＝＋1≥－＋1＝，当且仅当＝，a<0，即a＝－2，b＝4时取等号，故＋的最小值是.9．(2022·陕西质检)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．[答案] (－∞，0)∪{2}[解析] 由绝对值不等式的意义可得a＋≤4，-5-\n∴≤0，解得a的取值范围为(－∞，0)∪{2}．三、解答题10．(文)(2022·贵州六校联盟模拟)设函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)若关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解，求实数m的取值范围．[解析] (1)函数f(x)可化为f(x)＝其图象如下．(2)关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解等价于(f(x)＋4)max≥|1－2m|，由(1)可知f(x)max＝3，(也可由|f(x)|＝||x＋2|－|x－1||≤|(x＋2)－(x－1)|＝3，得f(x)max＝3)，于是|1－2m|≤7，∴－3≤m≤4.即实数m的取值范围是[－3,4]．(理)(2022·云南玉溪一中月考)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－m.(1)当m＝5时，求f(x)>0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围．[解析] (1)由题设知|x＋1|＋|x－2|>5，或或解得原不等式的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)．(2)不等式f(x)≥2即|x＋1|＋|x－2|≥m＋2，∵x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋2的解集是R，∴m＋2≤3，m的取值范围是(－∞，1].一、解答题11．(2022·吉林九校联合体二模)已知关于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥1(a>0)．(1)当a＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．[解析] (1)当a＝1时，得2|x－1|≥1，即|x－1|≥，解得x≥或x≤，∴不等式的解集为(－∞，]∪[，＋∞)．-5-\n(2)∵|ax－1|＋|ax－a|≥|a－1|，∴原不等式解集为R等价于|a－1|≥1.∴a≥2，或a≤0.∵a>0，∴a≥2.∴实数a的取值范围为[2，＋∞)．12．(2022·山西大学附中月考)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)>2；(2)若关于x的不等式a>f(x)有解，求实数a的取值范围．[解析] (1)或或解得x<－7或<x≤4或x>4.所以解集为{x|x<－7或x>}．(2)f(x)＝可知在(－∞，－)上，f(x)单调递减，(－，＋∞)上，f(x)单调递增．要a>f(x)有解，只要a>f(x)min.由f(x)单调性知f(x)min＝f(－)＝－.所以a>－.13．(文)(2022·银川一中二模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．[解析] (1)由|2x－a|＋a≤6得|2x－a|≤6－a，∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，∴a＝1.(2)由(1)知f(x)＝|2x－1|＋1，令φ(n)＝f(n)＋f(－n)，则φ(n)＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2＝∴φ(n)的最小值为4，故实数m的取值范围为[4，＋∞)．(理)(2022·河南八校联考)关于x的不等式lg(|x＋3|－|x－7|)<m.(1)当m＝1时，解此不等式；(2)设函数f(x)＝lg(|x＋3|－|x－7|)，当m为何值时，f(x)<m恒成立？[解析] (1)当m＝1时，原不等式可变为0<|x＋3|－|x－7|<10，解之得其解集为{x|2<x<7}．(2)设t＝|x＋3|－|x－7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0<t≤10，因为y＝lgx在(0，＋∞)上为增函数，则lgt≤1，当x≥7时，t＝10，lgt＝1，故只需m>1即可，即m>1时，f(x)<m恒成立．14．(文)已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋.[证明] 因为x，y，z都为正数，所以＋＝(＋)≥.同理可得＋≥，＋≥，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2得，＋＋≥＋＋.-5-\n(理)(2022·新课标Ⅱ理，24)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.[解析] (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.-5-
