第35练 用样本估计总体题型一 频率分布直方图的应用例1 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y1∶12∶13∶44∶5破题切入点 (1)根据样本频率之和为1，求出参数a的值．(2)根据频率分布直方图和平均值的计算公式，求出样本平均值．(3)由直方图可计算语文成绩在每分段上的频数，再根据语文和数学成绩在同一段上的人数比，便可计算数学成绩在[50,90)之间的人数，进而求解．解 (1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×＝20,30×＝40,20×＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.题型二 茎叶图的应用例2 从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则它们的大小关系分别为________．破题切入点 由茎叶图观察求解比较两组数据的平均数和中位数．-7-\n答案 甲<乙，m甲<m乙解析 由茎叶图可知甲数据集中在10至20之间，乙数据集中在20至40之间，明显甲＜乙，甲的中位数为20，乙的中位数为29，即m甲＜m乙．题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征例3 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：甲108999乙1010799如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是________．破题切入点 计算样本的方差直接作为总体的方差．答案 甲解析 甲＝乙＝9环，s＝[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝，s＝[(10－9)2＋(10－9)2＋(7－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝>s，故甲更稳定，故填甲．总结提高 (1)众数、中位数、平均数的异同①众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．②平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动，而中位数和众数都不具备此性质．③众数考查各数据出现的频率，当一组数据中有不少数据多次出现时，众数往往更能反映问题．④中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．(2)茎叶图刻画数据的优点①所有数据信息都可以在茎叶图中看到．②茎叶图便于记录和表示，且能够展示数据的分布情况．(3)利用频率分布直方图估计样本的数字特征①中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．②平均数：平均数的频率分布直方图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．③众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标．1．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(kg)数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图(如图)．根据一般标准，高三男生的体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25,0.20,0.10,0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为________．-7-\n答案 1000,0.60解析 据题意，得第二小组的频率为1－(0.25＋0.20＋0.10＋0.05)＝0.40，且其频数为400，设高三年级男生总数为n，则有＝0.40，∴n＝1000.体重正常的学生所占的频率为第二和第三小组频率之和，即0.20＋0.40＝0.60.2.已知记录7名运动员选手身高(单位：cm)的茎叶图如图，其平均身高为177cm，因有一名运动员的身高记录看不清楚，设其末位数为x，那么推断x的值为________．答案 8解析 据茎叶图可知＝177，解得x＝8.3．在样本的频率分布直方图中，一共有n个小矩形．若中间一个小矩形的面积等于其余(n－1)个小矩形面积之和的，且样本容量为240，则中间一组的频数是________．答案 40解析 设中间小矩形的面积为S，则由题意知＝，解得S＝，即频率为，所以中间一组的频数为×240＝40.4．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．答案 2解析 由题意知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，所以样本方差为s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.5．(2022·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．答案 12解析 志愿者的总人数为＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.-7-\n6．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，已知a2＝2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为________．答案 160解析 ∵小长方形的面积由小到大构成等比数列{an}，且a2＝2a1，∴样本的频率构成一个等比数列，且公比为2，∴a1＋2a1＋4a1＋8a1＝15a1＝300，∴a1＝20，∴小长方形面积最大的一组的频数为8a1＝160.7．(2022·江苏)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.答案 24解析 底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.8．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数分别是________．答案 18,23解析 根据茎叶图分别将甲、乙得分按从小到大顺序排起来，根据中位数定义易知甲、乙中位数分别为18,23.9．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm2)品种第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8其中产量比较稳定的小麦品种是________．答案 甲解析 甲＝(9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10.0，乙＝(9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10.0；s＝(9.82＋…＋10.22)－102＝0.02，-7-\ns＝(9.42＋…＋9.82)－102＝0.244>0.02.10．为了解某校今年准备报考飞行员学生的体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的总人数是________．答案 48解析 据频率分布直方图可得第四与第五小组的频率之和为5×(0.013＋0.037)＝0.25，故前三个小组的频率为1－0.25＝0.75，第2小组的频率为0.75×＝0.25，又其频数为12，故总人数为＝48人．11．(2022·北京)从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：组号分组频数1[0,2)62[2,4)83[4,6)174[6,8)225[8,10)256[10,12)127[12,14)68[14,16)29[16,18)2合计100(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；(2)求频率分布直方图中的a，b的值；(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组．(只需写出结论)-7-\n解 (1)根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1－＝0.9.从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17，所以a＝＝＝0.085.课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25，所以b＝＝＝0.125.(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．12．(2022·广东)某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差．解 (1)这20名工人年龄的众数为30；这20名工人年龄的极差为40－19＝21.(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：-7-\n(3)这20名工人年龄的平均数为：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；所以这20名工人年龄的方差为：(30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋(30－40)2＝12.6.-7-
