第23练 基本量——破解等差、等比数列的法宝题型一 等差、等比数列的基本运算例1 已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.破题切入点 (1)由已知列出关于首项和公差的方程组，解得a1和d，从而求出an.(2)求出bm，再根据其特征选用求和方法．解 (1)设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn，由T5＝105，a10＝2a5，得解得a1＝7，d＝7.因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)．(2)对m∈N*，若an＝7n≤72m，则n≤72m－1.因此bm＝72m－1.所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列，故Sm＝＝＝＝.题型二 等差、等比数列的性质及应用例2 (1)已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是________．(2)(2022·济南模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2013，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2013的值为________．破题切入点 (1)根据等差数列的性质，a7＋a14＝a1＋a20，S20＝可求出a7＋a14，然后利用基本不等式．(2)等差数列{an}中，Sn是其前n项和，则也成等差数列．答案 (1)25 (2)－2013解析 (1)∵S20＝×20＝100，∴a1＋a20＝10.∵a1＋a20＝a7＋a14，∴a7＋a14＝10.∵an>0，∴a7·a14≤2＝25.当且仅当a7＝a14时取等号．故a7·a14的最大值为25.(2)根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项＝a1＝－2013，公差d＝1，故＝－2013＋(2013－1)×1＝－1，所以S2013＝－2013.-5-\n题型三 等差、等比数列的综合应用例3 已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn＝3(an－1)，其中n∈N*.(1)证明：数列{an}为等比数列；(2)设数列{bn}满足bn＝log3an，若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和．破题切入点 (1)利用an＝Sn－Sn－1求出an与an－1之间的关系，进而用定义证明数列{an}为等比数列．(2)由(1)的结论得出数列{bn}的通项公式，求出cn的表达式，再利用错位相减法求和．(1)证明 由题意得an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)(n≥2)，∴an＝3an－1，∴＝3(n≥2)，又S1＝(a1－1)＝a1，解得a1＝3，∴数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列．(2)解 由(1)得an＝3n，则bn＝log3an＝log33n＝n，∴cn＝anbn＝n·3n，设Tn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋(n－1)·3n－1＋n·3n，3Tn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.∴－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1，∴Tn＝.总结提高 (1)关于等差、等比数列的基本量的运算，一般是已知数列类型，根据条件，设出a1，an，Sn，n，d(q)五个量的三个，知三求二，完全破解．(2)等差数列和等比数列有很多相似的性质，可以通过类比去发现、挖掘．(3)等差、等比数列的判断一般是利用定义，在证明等比数列时注意证明首项a1≠0，利用等比数列求和时注意公比q是否为1.1．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为________．答案 110解析 ∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3与a9的等比中项，∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.∴S10＝10×20＋×10×9×(－2)＝110.2．(2022·课标全国Ⅱ改编)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝________.答案 n(n＋1)解析 由a2，a4，a8成等比数列，得a＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，-5-\n∴a1＝2.∴Sn＝2n＋×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．3．等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S4＝S5＋S6，则数列{an}的公比q的值为________．答案 －2解析 由2S4＝S5＋S6，得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化简得q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2.4．(2022·大纲全国改编)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和为________．答案 4解析 数列{lgan}的前8项和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.5．(2022·大纲全国改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝________.答案 63解析 在等比数列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比数列，故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.6．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是________．答案 5解析 由等差数列的前n项和及等差中项，可得＝＝＝＝＝＝＝7＋(n∈N*)，故n＝1,2,3,5,11时，为整数．即正整数n的个数是5.7．(2022·课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.-5-\n答案 (－2)n－1解析 当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，故＝－2，故an＝(－2)n－1.8．(2022·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．答案 4解析 因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.9．(2022·安徽)数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.答案 1解析 设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，∴q＝＝＝1.10．在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有＝k(k为常数)，则称数列{an}为等差比数列，k称为公差比．现给出下列问题：①等差比数列的公差比一定不为零；②等差数列一定是等差比数列；③若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列；④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．其中正确命题的序号为________．答案 ①③④解析 若k＝0，{an}为常数列，分母无意义，①正确；公差为零的等差数列不是等差比数列，②错误；＝3，满足定义，③正确；设an＝a1qn－1(q≠0)，则＝＝q，④正确．11．(2022·课标全国Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{}的前n项和．解 (1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝3.设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而a1＝.-5-\n所以{an}的通项公式为an＝n＋1.(2)设{}的前n项和为Sn.由(1)知＝，则Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋.两式相减得Sn＝＋(＋…＋)－＝＋(1－)－.所以Sn＝2－.12．(2022·北京)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得q3＝＝＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.从而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为＝2n－1.所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.-5-
