压轴大题突破练——函数与导数(二)1．已知函数f(x)＝alnx－bx2.(1)当a＝2，b＝时，求函数f(x)在[，e]上的最大值；(2)当b＝0时，若不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，求实数m的取值范围．解 (1)由题意知，f(x)＝2lnx－x2，f′(x)＝－x＝，当≤x≤e时，令f′(x)>0得≤x<；令f′(x)<0，得<x≤e，∴f(x)在[，)上单调递增，在(，e]上单调递减，∴f(x)max＝f()＝ln2－1.(2)当b＝0时，f(x)＝alnx，若不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，则alnx≥m＋x对所有的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，即m≤alnx－x，对所有的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，令h(a)＝alnx－x，则h(a)为一次函数，m≤h(a)min.∵x∈(1，e2]，∴lnx>0，∴h(a)在[0，]上单调递增，∴h(a)min＝h(0)＝－x，∴m≤－x对所有的x∈(1，e2]都成立．∵1<x≤e2，∴－e2≤－x<－1，∴m≤(－x)min＝－e2.2．函数f(x)＝xlnx－ax2－x(a∈R)．(1)若函数f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)若函数f(x)的图象在直线y＝－x图象的下方，求a的取值范围；(3)求证：20132012<20122013.(1)解 f′(x)＝lnx－2ax.因为f′(1)＝0，所以a＝0.(2)解 由题意，得xlnx－ax2－x<－x，所以xlnx－ax2<0.因为x∈(0，＋∞)，所以a>.设h(x)＝，则h′(x)＝.令h′(x)>0，得0<x<e，所以h(x)在(0，e)上单调递增；-4-\n令h′(x)<0，得x>e，所以h(x)在(e，＋∞)上单调递减．所以h(x)max＝h(e)＝，所以a>.(3)证明 由(2)知h(x)＝在(e，＋∞)上单调递减，所以当x>e时，h(x)>h(x＋1)，即>，所以(x＋1)lnx>xln(x＋1)，所以lnxx＋1>ln(x＋1)x，所以xx＋1>(x＋1)x，令x＝2012，得20122013>20132012.3．已知函数f(x)＝lnx－ax＋1.(1)若函数f(x)在点A(1，f(1))处的切线l与直线4x＋3y－3＝0垂直，求a的值；(2)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：ln(n＋1)>＋＋…＋(n∈N*)．(1)解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.所以f′(1)＝1－a.所以切线l的斜率为1－a.因为切线l与直线4x＋3y－3＝0垂直，所以1－a＝，解得a＝.(2)解 若a≤0，则f′(x)＝－a>0，f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．而f(1)＝1－a>0，f(x)≤0不恒成立，故a>0.考虑a>0，则当x∈(0，]时，f′(x)＝－a>0；当x∈[，＋∞)时，f′(x)＝－a<0.所以f(x)在(0，]上是单调递增函数，在[，＋∞)上是单调递减函数．所以f(x)的最大值为f()＝－lna.要使f(x)≤0恒成立，只须－lna≤0即可．由－lna≤0，解得a≥1，即a的取值范围为[1，＋∞)．(3)证明 由(2)，知当a＝1时，f(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，且f(x)在(0,1)上是增函数，f(1)＝0，所以lnx<x－1在x∈(0,1)上恒成立．-4-\n令x＝(k∈N*)，则ln<－1＝－，令k＝1,2，…，n，则有ln<－，ln<－，ln<－，…，ln<－，以上各式两边分别相加，得ln＋ln＋…＋ln<－(＋＋…＋)，即ln<－(＋＋…＋)，故ln(n＋1)>＋＋…＋(n∈N*)．4．已知函数f(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x.(1)当a＝1时，求函数f(x)的极小值；(2)当a＝－1时，过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，设切点为P(m，n)，求实数m的值；(3)设定义在D上的函数y＝g(x)在点Q(x0，y0)处的切线方程为l：y＝h(x)，当x≠x0时，若>0在D内恒成立，则称点Q为函数y＝g(x)的“好点”．当a＝8时，试问函数y＝f(x)是否存在“好点”，若存在，请求出“好点”的横坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)当a＝1时，f(x)＝lnx＋x2－3x，f′(x)＝2x－3＋＝＝(x>0)，当0<x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝1时，f(x)取到极小值－2.(2)当a＝－1时，f(x)＝－lnx＋x2－x，f′(x)＝2x－1－(x>0)，所以切线的斜率k＝2m－1－＝＝，整理得m2＋lnm－1＝0，显然m＝1是这个方程的解，又y＝x2＋lnx－1在(0，＋∞)上是增函数，所以方程x2＋lnx－1＝0有唯一实数解，故m＝1.(3)当a＝8时，f(x)＝8lnx＋x2－10x，f′(x)＝2x－10＋，函数y＝f(x)在其图象上一点Q(x0，f(x0))处的切线方程h(x)＝(2x0＋－10)(x－x0)＋x－10x0＋8lnx0.设F(x)＝f(x)－h(x)，则F(x0)＝0，-4-\nF′(x)＝f′(x)－h′(x)＝(2x＋－10)－(2x0＋－10)＝，①若0<x0<2，F(x)在(x0，)上单调递减，所以当x∈(x0，)时，F(x)<F(x0)＝0，此时<0，不合题意，所以y＝f(x)在(0，＋∞)上不存在“好点”；②若x0>2，F(x)在(，x0)上单调递减，所以当x∈(，x0)时，F(x)>F(x0)＝0，此时<0，不合题意，所以y＝f(x)在(0，＋∞)上不存在“好点”；③若x0＝2，F′(x)＝≥0，即F(x)在(0，＋∞)上是增函数，当x>x0时，F(x)>F(x0)＝0，当x<x0时，F(x)<F(x0)＝0，>0恒成立，所以点(2，－16＋8ln2)为函数y＝f(x)的“好点”．故函数y＝f(x)存在“好点”，“好点”的横坐标为2.-4-
