用空间向量研究直线、平面的位置关系基础过关练题组一 空间中点、直线和平面的向量表示1.(2020北京一零一中学高二上期中)若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为( )A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(2,1,4)D.(4,2,1)2.(2020宁夏银川一中高二上期末)已知O(0,0,0),A(2,1,1),B(1,1,-1),点P(λ,1,3)在平面OAB内,则λ=( )A.2B.3C.4D.53.(2021四川宜宾高二上检测)已知A(1,2,-1),B(5,6,7),则直线AB与平面Oxz的交点坐标是( )A.(0,1,1)B.(0,1,-3)C.(-1,0,3)D.(-1,0,-5)题组二 平面的法向量4.(2020四川乐山高二上期末)已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列坐标对应的点在平面α内的是( )A.(2,3,3)B.(-2,0,1)C.(-4,4,0)D.(3,-3,4)5.(2021山东济宁高二上检测)四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O是底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=2,如图建系,则平面OCB1的法向量n= . 题组三 空间中直线、平面的平行问题6.已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的法向量为n1=(2,-3,1),向量AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),则( )A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能14,7.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则( )A.x=6,y=15B.x=3,y=15C.x=83,y=103D.x=6,y=1528.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.求证:(1)直线EE1∥平面FCC1;(2)平面ADD1A1∥平面FCC1.14,题组四 空间中直线、平面的垂直问题9.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别在A1D、AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则( )A.EF至多与A1D、AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面10.(2020山东青岛高三上联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形,平面PAB⊥平面ABCD.证明:平面PAD⊥平面PBC.14,能力提升练题组一 用空间向量研究平行问题 1.(2020山东聊城高二期中,)如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为( )A.(1,1,1)B.23,23,1C.22,22,1D.24,24,12.(2020黑龙江佳木斯第一中学高二上期中,)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD,四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且AD∥BC,△ABD是边长为1的等边三角形,BC=3.问:线段BD上是否存在点N(不包括端点),使得直线CE∥平面AFN?若存在,求出BNBD的值;若不存在,请说明理由.深度解析3.(2021山东济宁实验中学高二月考,)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,CC1,AD的中点.(1)求异面直线B1E与BG所成角的余弦值;(2)棱CD上是否存在点T,使得AT∥平面B1EF?请证明你的结论.深度解析题组二 用空间向量研究垂直问题 4.(2020天津一中高二月考,)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B(含边界)内,若D1M⊥CP,则△BCM面积的最小值为( )14,A.8B.4C.82D.8555.(2020重庆巴蜀中学高三下期中,)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为4的菱形,∠ABC=60°,AA1=4,过点B与直线AC1垂直的平面交直线AA1于点M,则三棱锥A-MBD的外接球的表面积为 . 6.(2020陕西西安中学高二上期末,)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,求证:(1)BD1⊥平面AB1C;(2)平面EAC⊥平面AB1C.7.(2021云南昆明第一中学高三上检测,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为3的正方形,CC1⊥BC,BC=1,AB=2.(1)证明:平面A1BC⊥平面ABC1;(2)在线段A1B上是否存在点M,使得CM⊥BC1,若存在,求BMBA1的值,若不存在,请说明理由.14,8.(2020安徽合肥一中高二上期末,)在如图所示的几何体中,平面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=2BC,∠ABC=60°,AC⊥FB.(1)求证:AC⊥平面FBC;(2)线段ED上是否存在点Q,使平面EAC⊥平面QBC?证明你的结论.答案全解全析基础过关练1.A 由已知得AB=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与AB共线,故选A.2.B OA=(2,1,1),OB=(1,1,-1),OP=(λ,1,3).∵O、A、B、P四点共面,∴存在x,y∈R,使OP=xOA+yOB,即(λ,1,3)=x(2,1,1)+y(1,1,-1),∴λ=2x+y,1=x+y,3=x-y,解得λ=3,故选B.3.D 设直线AB与平面Oxz的交点为M(x,0,z),则AM=(x-1,-2,z+1),AB=(4,4,8),又AM与AB共线,∴AM=λAB,则x-1=4λ,-2=4λ,z+1=8λ,解得x=-1,z=-5,故选D.4.A 设点P(x,y,z)在平面α内,则MP=(x-1,y+1,z-2).∵n=(6,-3,6)是平面α的一个法向量,∴n⊥MP,又n·MP=6(x-1)-3(y+1)+6(z-2)=6x-3y+6z-21,∴由n·MP=0得6x-3y+6z-21=0,即2x-y+2z=7.把各选项的坐标数据代入上式验证可知A适合.故选A.5.答案 (1,0,-1)(答案不唯一)解析 易得O(0,0,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),∴OC=(0,1,0),OB1=(1,1,1).设n=(x,y,z),14,∵OC·n=y=0,OB1·n=x+y+z=0,故y=0,x=-z,取x=1,故z=-1.∴平面OCB1的一个法向量为n=(1,0,-1)(答案不唯一).6.A 因为n1·AB=0,n1·AC=0,AB∩AC=A,所以n1也是平面ABC的法向量,又平面α与平面ABC不重合,所以平面α与平面ABC平行,故选A.7.D 因为l1∥l2,所以a∥b,得32=x4=y5,解得x=6,y=152,故选D.8.证明 证法一:(1)因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,底面ABCD为等腰梯形,所以BF=BC=CF,所以△BCF为正三角形,所以∠BAD=∠ABC=60°.取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD.以D为原点,DM,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则F(3,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E32,-12,0,E1(3,-1,1),所以CC1=(0,0,2),EE1=32,-12,1,CF=(3,-1,0).设平面FCC1的法向量为n=(x,y,z),则n·CF=3x-y=0,n·CC1=2z=0,得z=0,令x=1,得y=3,所以平面FCC1的一个法向量为n=(1,3,0),则n·EE1=1×32+3×-12+0×1=0,所以n⊥EE1.又直线EE1⊄平面FCC1,所以直线EE1∥平面FCC1.(2)易得D(0,0,0),D1(0,0,2),A(3,-1,0),所以DA=(3,-1,0),DD1=(0,0,2).设平面ADD1A1的法向量为m=(x1,y1,z1),则m·DA=3x1-y1=0,m·DD1=2z1=0,得z1=0,令x1=1,得y=3,所以平面ADD1A1的一个法向量为m=(1,3,0).结合(1)知m=n,即m∥n,所以平面ADD1A1∥平面FCC1.证法二:(1)取A1B1的中点G,连接C1G,GF,CG,A1D.因为A1G=12A1B1,DC=12A1B1,A1G∥D1C1,DC∥D1C1,所以A1G
