专题二 三角函数与平面向量第7讲 三角函数的图象与性质1.将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sin的图象，则φ等于________．答案：π解析：∵sin＝sin，即sin＝sin，∴将函数y＝sinx的图象向左平移π个单位可得到函数y＝sin的图象．2.函数f(x)＝cos的最小正周期为，其中ω>0，则ω＝________．答案：103.已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f＝________.答案：1解析：f(x)＝f′cosx＋sinx，f′(x)＝－f′sinx＋cosx，f′＝－f′＋，f′＝－1，f(x)＝(－1)cosx＋sinx，f＝(－1)×＋＝1.4.函数y＝sin＋cos的最大值为________．答案：2解析：(解法1)由题意可知y＝sin2xcos＋cos2xsin＋cos2xcos＋sin2xsin＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，所以最大值为2.(解法2)y＝sin＋cos[(2x＋)－]＝2sin(2x＋)，所以最大值为2.5.方程sin2x＋cosx＋a＝0一定有解，则实数a的取值范围是________．答案：解析：a＝cos2x－cosx－1＝－，转化为函数的值域问题．6.要使sinα－cosα＝有意义，则m的范围为______．答案：[－1，]-5-\n解析：＝sinα－cosα＝2sin(α－)∈[－2，2]，所以－2≤≤2，解得－1≤m≤.7.设函数f(x)＝2sin，如果存在实数x1、x2，使得对任意的实数x都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．答案：2π解析：T＝＝4π，对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，f(x)min＝f(x1)，f(x)max＝f(x2)，于是|x1－x2|min＝＝2π.8.已知过原点的直线与函数y＝|sinx|(x≥0)的图象有且只有三个交点，α是交点中横坐标的最大值，则＝________．答案：1解析：y＝|sinx|(x≥0)的图象如图，若过原点的直线与函数y＝|sinx|(x≥0)的图象有且只有三个交点，则第三个交点的横坐标为α，且α∈，又在区间(π，2π)上，y＝|sinx|＝－sinx，则切点坐标为(α，－sinα)，又切线斜率为－cosα，则切线方程为y＋sinα＝－cosα(x－α)，y＝－xcosα＋αcosα－sinα.又直线过原点，把(0，0)代入上式，得α＝tanα，∴＝＝(1＋tan2α)cos2α＝cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.9.将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是______________．答案：解析：y＝cosx＋sinx＝2sin，图象向左平移m(m>0)个单位长度后得函数的解析式为y＝2sin，由函数为偶函数得＋m＝kπ＋，k∈Z，m＝kπ＋，又m>0，故m的最小值是.10.已知六个点A1(x1，1)，B1(x2，－1)，A2(x3，1)，B2(x4，－1)，A3(x5，1)，B3(x6，－1)(x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6，x6－x1＝5π)都在函数f(x)＝sin的图象C上．如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线C上，则称此两点为“好点组”，则上述六点中好点组的个数为______________．(两点不计顺序)答案：11-5-\n解析：画出函数f(x)＝sin的草图，由题知，A1(x1，1)，B1(x2，－1)，A2(x3，1)，B2(x4，－1)，A3(x5，1)，B3(x6，－1)恰好为连续的三个最高点和三个最低点，符合题意的11组好点组是A1B1，A2B1，A3B1，A1B2，A2B2，A3B2，A1B3，A2B3，A3B3，A1A3，B1B3.11.已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈[0，]时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a、b的值；(2)设g(x)＝f且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．解：(1)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]．∴sin∈[－，1]．∵a>0，∴－2asin(2x＋)∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b，3a＋b]．∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得a＝2，b＝－5，∴f(x)＝－4sin(2x＋)－1，g(x)＝f(x＋)＝－4sin(2x＋)－1＝4sin(2x＋)－1.又由lgg(x)＞0，得g(x)＞1，∴4sin(2x＋)－1＞1，∴sin(2x＋)＞，∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为(kπ，kπ＋]，k∈Z.∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.∴g(x)的单调减区间为(kπ＋，kπ＋)，k∈Z.综上，g(x)的递增区间为(kπ，kπ＋](k∈Z)；递减区间为(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．12.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的周期为π，且图象上有一个最低点为M.-5-\n(1)求f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)＋f的最大值及对应x的值．解：(1)由＝π，得ω＝2.由最低点为M，得A＝3.且2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，0＜φ＜，∴φ＝.∴f(x)＝3sin.(2)y＝f(x)＋f＝3sin＋3sin＝3sin＋3cos＝3sin，∴ymax＝3.此时，2x＋＝2kπ＋，x＝kπ＋，k∈Z.13.函数f(x)＝6cos2＋sinωx－3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．解：(1)由已知可得f(x)＝6cos2＋sinωx－3＝3cosωx＋sinωx＝2sin，又由于正三角形ABC的高为2，则BC＝4，所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，即ω＝，所以函数f(x)的值域为[－2，2]．(2)因为f(x0)＝，由(1)有f(x0)＝2sin＝，即sin＝.由x0∈得＋∈，所以cos＝＝.-5-\n又f(x0＋1)＝2sin＝2sin＝2＝2＝.-5-
