第4讲 函数的实际应用1.零点问题：在掌握二分法的解题步骤基础上，学会分析转化，能够把与之有关的问题化归为方程根问题．2.函数模型的实际应用问题，主要抓住常见函数模型的训练，如幂、指、对模型，二次函数模型，数列模型，分段函数模型等，解答的重点是在信息整理和建模上．3.掌握解函数应用题的方法与步骤：(1)正确地将实际问题转化为函数模型(建模)；(2)用相关的函数知识进行合理的设计，确定最佳的解题方案，进行计算与推理(解模)；(3)把计算或推理得到的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答(检验、作答)．1.函数f(x)＝xcos2x在区间[0，2π]上的零点个数为________．答案：5解析：零点为0，，，，.2.某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为________．答案：1000件解析：设每次进x件费用为y，y＝＋×2≥2×，当且仅当＝x，即x＝1000时y最小．3.关于x的方程exlnx＝1的实数根的个数是________．答案：1解析：exlnx＝1(x>0)lnx＝(x>0)lnx＝(x>0)，令y1＝lnx(x>0)，y2＝(x>0)，在同一坐标系内画出函数y1＝lnx和y2＝的大致图象，如图所示，根据图象可知两函数只有一个交点，所以方程exlnx＝1的根的个数为1.4.某人在2022年初贷款m万元，年利率为x，从次年初开始偿还，每年偿还的金额都是n万元，到2022年初恰好还清，则n的值是________．答案：解析：m(1＋x)3＝n(1＋x)2＋n(1＋x)＋n，n＝.题型一关于函数零点问题-9-\n例1已知直线y＝mx(m∈R)与函数f(x)＝的图象恰有3个不同的公共点，求实数m的取值范围．解：作出函数f(x)的图象，可知要使直线y＝mx(m∈R)与函数f(x)的图象恰有三个不同的公共点，只要y＝x2＋1(x＞0)与直线y＝mx(m∈R)有两个交点，即x2＋1＝mx有两个不等的正根，亦即x2－2mx＋2＝0有两个不等的正根，∴解得m＞.已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．答案：(0，1)解析：f(x)＝(x≥2)单调递减且值域为(0，1]，f(x)＝(x－1)3(x＜2)单调递增且值域为(－∞，1)，f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(0，1)．题型二利用基本不等式解函数应用题例2为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的净化剂浓度y(mg/m3)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(mg/m3)时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)．解：(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)＝4y＝则当0≤x≤4时，由－4≥4解得x≥0，所以此时0≤x≤4.当4<x≤10时，由20－2x≥4解得x≤8，所以此时4<x≤8.综合得0≤x≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天.(2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，浓度g(x)＝2＋a＝10－x＋－a＝(14－x)＋－a－4.因为14－x∈[4，8]，而1≤a≤4，所以4∈[4，8]，故当且仅当14－x＝4时，y有最小值为8－a－4.令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4，所以a的最小值为24－16≈1.6.已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件，需另投入2.7万元，设该公司年内共生产品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝-9-\n(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？解：(1)由题意得W＝即W＝(2)①当0<x≤10时，W＝8.1x－x3－10，则W′＝8.1－x2＝＝，∵0<x≤10，∴当0<x<9时，W′>0，则W递增；当9<x≤10时，W′<0，则W递减；∴当x＝9时，W取最大值＝38.6万元．②当x>10时，W＝98－≤98－2＝38.当且仅当＝2.7x，即x＝>10取最大值38.综上，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.题型三利用导数解函数应用题例3在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形)，其中矩形ABCD的三边AB、BC、CD由总长为6dm的材料弯折而成，BC边的长为2tdm；曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线C1是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y＝cosx－1，此时记门的最高点O到边BC的距离为h1(t)；曲线C2是一段抛物线，其焦点到准线的距离为，此时记门的最高点O到BC边的距离为h2(t)．(1)试求函数h1(t)，h2(t)的表达式；(2)要使得点O到BC边的距离最大，应选用哪一种曲线？此时，最大值是多少？解：(1)对于曲线C1，因为曲线AOD的解析式为y＝cosx－1，所以点D的坐标为(t，cost－1)，所以点O到AD的距离为1－cost.而AB＝DC＝3－t，则h1(t)＝(3－t)＋(1－cost-9-\n)＝－t－cost＋4.对于曲线C2，因为抛物线的方程为x2＝－y，即y＝－x2，所以点D的坐标为，所以点O到AD的距离为t2.而AB＝DC＝3－t，所以h2(t)＝t2－t＋3.(2)因为h1′(t)＝－1＋sint＜0，所以h1(t)在区间上单调递减，所以当t＝1时，h1(t)取得最大值3－cos1.又h2(t)＝＋，而1≤t≤，所以当t＝时，h2(t)取得最大值.因为cos1＞cos＝，所以3－cos1＜，故采用曲线C2，且当t＝时，点O到BC边的距离最大，最大值为dm.某风景区在一个直径AB为100m的半圆形花园中设计一条观光线路(如图所示)．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．(注：小路及绿化带的宽度忽略不计)(1)设∠BAC＝θ(rad)，将绿化带总长度表示为θ的函数s(θ)；(2)试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．解：(1)如图，连结BC，设圆心为O，连结CO.在直角三角形ABC中，AB＝100，∠BAC＝θ，所以AC＝100cosθ.由于∠BOC＝2∠BAC＝2θ，所以弧BC的长为50×2θ＝100θ.所以s(θ)＝2×100cosθ＋100θ，即s(θ)＝200cosθ＋100θ，θ∈.(2)s′(θ)＝100(－2sinθ＋1)，令s′(θ)＝0，则θ＝，列表如下：θs′(θ)＋0－s(θ)极大值所以，当θ＝时，s(θ)取极大值，即为最大值．答：当θ＝时，绿化带总长度最大．题型四函数零点的探求问题例4已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.(1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；-9-\n(2)是否存在实数m，使得函数φ(x)＝g(x)－f(x)有三个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16.当t＋1＜4，即t＜3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7；当t≤4≤t＋1，即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16；当t＞4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，h(t)＝f(t)＝－t2＋8t.综上，h(t)＝(2)函数φ(x)＝g(x)－f(x)有三个零点，函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵φ(x)＝x2－8x＋6lnx＋m，∴φ′(x)＝2x－8＋＝＝(x＞0)．当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)是增函数；当x∈(1，3)时，φ′(x)＜0，φ(x)是减函数；当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)是增函数．当x＝1或x＝3时，φ′(x)＝0，∴φ(x)极大值＝φ(1)＝m－7，φ(x)极小值＝φ(3)＝m＋6ln3－15.∵当x充分接近0时，φ(x)＜0，当x充分大时，φ(x)＞0，∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即7＜m＜15－6ln3.∴存在实数m，使得函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7，15－6ln3)．已知函数f(x)＝m(x－1)2－2x＋3＋lnx，m∈R.(1)当m＝0时，求函数f(x)的单调增区间；(2)当m＞0时，若曲线y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l与曲线y＝f(x)有且只有一个公共点，求实数m的值．解：(1)由题意知，f(x)＝－2x＋3＋lnx，所以f′(x)＝－2＋＝(x＞0)．由f′(x)＞0，得x∈，所以函数f(x)的单调增区间为.(2)由f′(x)＝mx－m－2＋，得f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点P(1，1)处的切线l的方程为y＝－x＋2.由题意得，关于x的方程f(x)＝－x＋2有且只有一个解，即关于x的方程m(x－1)2－x＋1＋lnx＝0有且只有一个解．令g(x)＝m(x－1)2－x＋1＋lnx(x＞0)，则g′(x)＝m(x－1)－1＋＝＝(x＞0)．-9-\n①当0＜m＜1时，由g′(x)＞0得0＜x＜1或x＞，由g′(x)＜0得1＜x＜，所以函数g(x)在(0，1)上为增函数，在上为减函数，在上为增函数．又g(1)＝0，且当x→∞时，g(x)→∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．故0＜m＜1不合题意．②当m＝1时，g′(x)≥0，g(x)在(0，＋∞)上为增函数，且g(1)＝0，故m＝1符合题意．③当m＞1时，由g′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由g′(x)＜0得＜x＜1，所以函数g(x)在上为增函数，在上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．又g(1)＝0，且当x→0时，g(x)→－∞，此时曲线y＝g(x)与x轴有两个交点．故m＞1不合题意．综上所述，实数m的值为1.1.(2022·湖南卷)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为________．答案：22.(2022·福建卷)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．答案：160解析：设容器底长和宽分别为a、b，成本为y，因为长方形容器的容积为4m3，高为1m，故底面面积S＝ab＝4，y＝20S＋10[2(a＋b)]＝20(a＋b)＋80.因为a＋b≥2＝4，故当a＝b＝2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元．3.(2022·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝，若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．答案：解析：作出函数f(x)＝，x∈[0，3)的图象，可见f(0)＝，当x＝1时，f(x)极大＝，f(3)＝，方程f(x)－a＝0在x∈[－3，4]上有10个零点，函数y＝f(x)的图象与直线y＝a在[－3，4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y＝a与函数f(x)＝，x∈[0，3)的图象应该有4个交点，则有a∈.4.设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)>0，则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为________．答案：4-9-\n解析：根据条件，得到函数f(x)在，上单调单递减，在，上单调递增，画出函数的草图，可得答案．5.(2022·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为rm，高为hm，体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0，可得r<5，故函数V(r)的定义域为(0，5)．(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0，5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上为增函数；当r∈(5，5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．6.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/kg时，每日可售出该商品11kg. (1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/kg,试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x＝5时y＝11，所以＋10＝11a＝2.(2)由(1)知该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0得x＝4.函数f(x)在(3，4)上递增，在(4，6)上递减，所以当x＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42.所以当销售价格x＝4元/kg时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元．(本题模拟高考评分标准，满分16分)(2022·南通一模)某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4m．这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB＞AD)为长方形薄板，沿AC折叠后AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好．(1)设AB＝xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；(2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？(3)若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？-9-\n解：(1)由题意，AB＝x，BC＝2－x.因为x＞2－x，故1＜x＜2.(2分)设DP＝y，则PC＝x－y.因△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y.由PA2＝AD2＋DP2，得(x－y)2＝(2－x)2＋y2y＝2，1＜x＜2.(5分)(2)记△ADP的面积为S1，则S1＝(2－x)(6分)＝3－≤3－2，当且仅当x＝∈(1，2)时，S1取得最大值．(9分)故当薄板长为m，宽为(2－)m时，节能效果最好．(10分)(3)记凹多边形ACB′PD的面积为S2，则S2＝x(2－x)＋(2－x)＝3－，1＜x＜2.(11分)于是S′2＝－＝＝0x＝.(13分)关于x的函数S2在(1，)上递增，在(，2)上递减．所以当x＝时，S2取得最大值．(15分)故当薄板长为m，宽为(2－)m时，制冷效果最好．(16分)1.下列命题正确的是________．(填序号)①若f(－x)＝－f(2＋x)，则f(x)的图象关于点(1，0)对称；②若f(－x)＝f(2＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；③若y＝f(x＋1)是奇函数，则y＝f(x)关于点(1，0)对称；④若y＝f(x＋1)是偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝1对称．【答案】 ①②③④2.已知二次函数y＝g(x)的导函数的图象与直线y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1处取得最小值m－1(m≠0)．设函数f(x)＝.(1)若曲线y＝f(x)上的点P到点Q(0，2)的距离的最小值为，求m的值；(2)k(k∈R)取何值时，函数y＝f(x)－kx存在零点，并求出零点．解：(1)设g(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0，则g′(x)＝2ax＋b；又g′(x)的图象与直线y＝2x平行，∴2a＝2，∴a＝1.又g(x)在x＝－1时取最小值，∴－＝－1，∴b＝2.∴g(－1)＝a－b＋c＝1－2＋c＝m－1，∴c＝m.∴f(x)＝＝x＋＋2.设P(x0，y0)，则|PQ|2＝x＋(y0－2)2＝x＋＝2x＋＋2m≥2＋2m.-9-\n∴2＋2m＝2，∴m＝－1或m＝－－1.(2)由y＝f(x)－kx＝(1－k)x＋＋2＝0，得(1－k)x2＋2x＋m＝0.(*)当k＝1时，方程(*)有一解x＝－，函数y＝f(x)－kx有一零点x＝－；当k≠1时，方程(*)有两解Δ＝4－4m(1－k)＞0.若m＞0，k＞1－，函数y＝f(x)－kx有两个零点x＝＝；若m＜0，k＜1－，函数y＝f(x)－kx有两个零点x＝＝；当k≠1时，方程(*)有一解Δ＝4－4m(1－k)＝0，k＝1－，函数y＝f(x)－kx有一个零点x＝.3.某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解：设中间区域矩形的长、宽分别为xm、ym，中间的矩形区域面积为Sm2，则半圆的周长为m.因为操场周长为400m，所以2x＋2×＝400，即2x＋πy＝400.所以S＝xy＝·(2x)·(πy)≤·＝.由解得当时等号成立．故设计矩形的长为100m，宽约为(≈63.7)m时，面积最大．-9-
