考点规范练41 直线、平面垂直的判定与性质一、非标准1.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是( )A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥αB.若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则n⊥αC.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥αD.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β2.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l3.(2022深圳调研)如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是( )A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE4.设a,b是夹角为30°的异面直线,则满足条件“a⊂α,b⊂β,且α⊥β”的平面α,β( ) A.不存在B.有且只有一对C.有且只有两对D.有无数对5.已知在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有( )A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABCC.平面ADC⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面BDC6.(第6题图)如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在的平面,那么( )A.PA=PB>PCB.PA=PB<PCC.PA=PB=PCD.PA≠PB≠PC7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可). \n(第7题图)8.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题: (用序号表示). 9.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.(1)求证:B1D1∥平面A1BD;(2)求证:MD⊥AC;(3)试确定点M的位置,使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.10.已知平面α,β,γ和直线l,m,且l⊥m,α⊥γ,α∩γ=m,β∩γ=l,给出下列四个结论:①β⊥γ;②l⊥α;③m⊥β;④α⊥β.其中正确的是( )A.①④B.②④C.②③D.③④11.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( )A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部12.(2022北京东城区期末)如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A'-BCD,使平面A'BD⊥平面BCD,则下列结论正确的是( )\nA.A'C⊥BDB.∠BA'C=90°C.CA'与平面A'BD所成的角为30°D.四面体A'-BCD的体积为13.假设平面α∩平面β=EF,AB⊥α,CD⊥β,垂足分别为B,D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,现有下面四个条件:①AC⊥α;②AC与α,β所成的角相等;③AC与BD在β内的射影在同一条直线上;④AC∥EF.其中能成为增加条件的是 .(把你认为正确的条件序号都填上) 14.如图,在三棱锥A-BOC中,AO⊥平面COB,∠OAB=∠OAC=,AB=AC=2,BC=,D,E分别为AB,OB的中点.(1)求证:CO⊥平面AOB;(2)在线段CB上是否存在一点F,使得平面DEF∥平面AOC,若存在,试确定F的位置;若不存在,请说明理由.15.(2022北京,文17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.\n##一、非标准1.C 解析:与α,β两垂直平面的交线垂直的直线m,可与α平行或相交,故A错;对B,存在n∥α的情况,故B错;对D,存在α∥β的情况,故D错;由n⊥α,n⊥β,可知α∥β,又m⊥β,所以m⊥α,故C正确.2.D 解析:假设α∥β,由m⊥平面α,n⊥平面β,得m∥n,这与已知m,n为异面直线矛盾,那么α与β相交,设交线为l1,则l1⊥m,l1⊥n,在直线m上任取一点作n1平行于n,那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面,所以l1∥l.3.C 解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,所以选C.4.D 解析:过直线a的平面α有无数个,当平面α与直线b平行时,两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α,当平面α与b相交时,过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D.5.C 解析:∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC.又AD⊂平面ADC,∴平面ADC⊥平面BDC.故选C.6.C 解析:∵M为AB的中点,△ACB为直角三角形,∴BM=AM=CM.又PM⊥平面ABC,∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC.7.DM⊥PC(或BM⊥PC) 解析:∵PC在底面ABCD上的射影为AC,且AC⊥BD,∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.8.①③④⇒②(或②③④⇒①) 解析:逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;①③④⇒②与②③④⇒①均正确.9.(1)证明:由直四棱柱,得BB1∥DD1,又∵BB1=DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD,B1D1⊄平面A1BD,∴B1D1∥平面A1BD.(2)证明:∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴BB1⊥AC.∵BD⊥AC,且BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D.而MD⊂平面BB1D,∴MD⊥AC.(3)解:当点M为棱BB1的中点时,平面DMC1⊥平面CC1D1D.证明如下:取DC的中点N,D1C1的中点N1,连接NN1交DC1于O,连接OM,如图所示.\n∵N是DC的中点,且BD=BC,∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线,而平面ABCD⊥平面DCC1D1,∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点,∴BM∥ON且BM=ON,即四边形BMON是平行四边形,∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM⊂平面DMC1,∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.10.B 解析:如图,由题意,β∩γ=l,∴l⊂γ.由α⊥γ,α∩γ=m,且l⊥m,∴l⊥α,即②正确;由β∩γ=l,∴l⊂β,由l⊥α,得α⊥β,即④正确;而①③条件不充分,不能判断.11.A 解析:由BC1⊥AC,又BA⊥AC,则AC⊥平面ABC1,因此平面ABC⊥平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.12.B 解析:取BD的中点O,连接A'O,OC.∵A'B=A'D,∴A'O⊥BD.又平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,∴A'O⊥平面BCD.∵CD⊥BD,∴OC不垂直于BD.假设A'C⊥BD,又A'C∩A'O=A',∴BD⊥平面A'OC,∴BD⊥OC,与OC不垂直于BD矛盾,∴A'C不垂直于BD,A错误.∵CD⊥BD,平面A'BD⊥平面BCD,∴CD⊥平面A'BD,∴CD⊥A'D,∴A'C=.∵A'B=1,BC=,∴A'B2+A'C2=BC2,A'B⊥A'C,B正确;∠CA'D为直线CA'与平面A'BD所成的角,∠CA'D=45°,C错误;VA'-BCD=S△A'BD·CD=,D错误,故选B.13.①③ 解析:如果AB与CD在一个平面内,可以推出EF垂直于该平面,又BD在该平面内,所以BD⊥EF.故要证BD⊥EF,只需AB,CD在一个平面内即可,只有①③能保证这一条件.14.(1)证明:因为AO⊥平面COB,所以AO⊥CO,AO⊥BO.\n即△AOC与△AOB为直角三角形.因为∠OAB=∠OAC=,AB=AC=2,所以OB=OC=1.由OB2+OC2=1+1=2=BC2,可知△BOC为直角三角形.所以CO⊥BO.因为AO∩BO=O,所以CO⊥平面AOB.(2)解:在线段CB上存在一点F,使得平面DEF∥平面AOC,此时F为线段CB的中点.如图,连接DF,EF.因为D,E分别为AB,OB的中点,所以DE∥OA.又DE⊄平面AOC,所以DE∥平面AOC.因为E,F分别为OB,BC的中点,所以EF∥OC.又EF⊄平面AOC,所以EF∥平面AOC.因为EF∩DE=E,EF⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,所以平面DEF∥平面AOC.15.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG=AC.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)解:因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=.\n所以三棱锥E-ABC的体积V=S△ABC·AA1=×1×2=.
