【师说系列】2022届高考数学一轮练之乐1.9.2空间几何体的表面积和体积文一、选择题1．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．48 B．32＋8C．48＋8D．80解析：由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，所以该直四棱柱的表面积为S＝2××(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2××4＝48＋8.答案：C2．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A．8－B．8－C．8－2πD.解析：显然圆锥的底面半径为1，高为2，组合体体积为四棱柱体积减去圆锥体积，即V＝22×2－×π×12×2＝8－π，选A.答案：A3．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥SABC的体积为( )A.B.C.D.6\n解析：由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，如图所示，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥SABD和CABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DBC＝∠DAC＝45°，所以在△BDC中，BD＝4－x，所以x＝4－x，解得x＝2，所以AD＝BD＝2，所以△ABD为正三角形，所以V＝S△ABD×4＝.答案：C4．如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A．4B．4C．2D．2解析：由题意知该几何体为如图所示的四棱锥，底面为菱形，且AC＝2，BD＝2，高QP＝3，其体积V＝×(×2×2)×3＝2.答案：C5．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A.a3B.a3C.a3D.a3解析：正八面体可以看做两个正四棱锥拼接而成，其中正四棱锥的棱长为a，高为a.则V＝2··(a)2·a＝a3.答案：C6．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH6\n的表面积为T，则等于( )A.B.C.D.解析：设正四面体ABCD的棱长为a，如图所示，则EF＝MN＝BD＝a，所以＝.答案：A二、填空题7．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________m3.解析：由三视图可知，此几何体的上面是圆锥，其半径为1，高是3，此几何体的下面是长方体，其长，宽，高分别是3,2,1，因此该几何体的体积V＝π×12×3＋3×2×1＝6＋π(m3)．答案：6＋π8．如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是__________．解析：由球的半径为4，可知球的表面积为64π.设内接圆柱的底面半径为r，高为2h，则h2＋r2＝16.圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4π＝32π，当且仅当r＝h＝2时取等号，即内接圆柱的侧面积最大，最大值为32π，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为32π.答案：32π9．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的6\n，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．解析：设球心为O1，半径为r1，圆锥底面圆圆心为O2，半径为r2，则有×4πr＝πr，即r2＝r1，所以O1O2＝＝，设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h1、h2，则＝＝.答案：三、解答题10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形，(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体侧面积S.解析：由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V－ABCD，如图所示．(1)V＝×(8×6)×4＝64(2)该四棱锥有两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1＝＝4，另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝＝5因此S＝2(×6×4＋×8×5)＝40＋24.11．如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.6\n(1)求证：CE⊥平面PAD；(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱锥PABCD的体积．解析：证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以PA⊥CE.因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD.(2)由(1)可知CE⊥AD.在Rt△ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形．所以S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△ECD＝AB·AE＋CE·DE＝1×2＋×1×1＝.又PA⊥平面ABCD，PA＝1，所以V四棱锥PABCD＝S四边形ABCD·PA＝××1＝.12．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示，墩的上半部分是正四棱PEFGH(底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心)，下半部分是长方体ABCD—EFGH.图(2)、图(3)分别是该标识墩的正视图和俯视图．(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线BD⊥平面PEG.解析：(1)侧视图同正视图，如图所示．6\n(2)该安全标识墩的体积为V＝VPEFGH＋VABCD—EFGH＝×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3)．(3)证明：如图，连接EG，HF及BD，EG与HF相交于点O，连接PO.由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF.又∵EG⊥HF，PO∩EG＝O，∴HF⊥平面PEG.又∵BD∥HF，∴BD⊥平面PEG.6
