选修4系列N1选修4-1几何证明选讲 图1－622．N1[2022·新课标全国卷Ⅰ]选修4－1：几何证明选讲如图1－6所示，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．22．解：(1)证明：联结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝.设DE的中点为O，联结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.15．N1[2022·广东卷](几何证明选讲选做题)如图1－3所示，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________．图1－315．2 [解析]由题知∠ACB＝90°，又BC＝CD，∴AD＝AB＝6，∠BAC＝∠CAE，∴AE＝AD－ED＝4.∵CE为切线，∴∠ACE＝∠ABC.∴∠ACE＋∠CAE＝∠ABC＋∠BAC＝90°.在△ACD中，∠ACD＝90°，CE⊥AD，∴CD2＝ED·DA＝12，解得CD＝2，故BC＝2.-15-\n图1－515．N1[2022·湖北卷](选修4－1：几何证明选讲)如图1－5所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则的值为________．15．8 [解析]设AB＝6k，则AD＝2k，DO＝k，CO＝3k，设EO＝x，由射影定理：DO2＝EO·CO，k2＝x·3k，x＝，故＝＝8.图1－311．N1[2022·湖南卷]如图1－2所示，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P.PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．11. [解析]由相交弦定理可知PA·PB＝PC·PD，得PC＝4，故弦CD＝5，又半径r＝，记圆心O到直线CD的距离为d，则d2＋＝7，即d2＝，故d＝.21．N1[2022·江苏卷]A．[选修4－1：几何证明选讲]如图1－1所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.图1－1证明：联结OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.-15-\n又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以＝.又BC＝2OC＝2OD.故AC＝2AD.11．N1[2022·北京卷]如图1－2，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________．图1－211. 4 [解析]由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a，PB＝25a，根据切割线定理有PA2＝PD·PB，∴a＝，∴PD＝，PB＝5.又∵△PBA为直角三角形，∴AB2＋AP2＝PB2，∴AB＝4.22．N1[2022·辽宁卷]选修4－1：几何证明选讲如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，联结AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.图1－822．证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝.又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.-15-\n又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.N1[2022·陕西卷]B．(几何证明选做题)如图1－4，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝________.图1－4 [解析]利用已知可得，∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得＝，而PD＝2DA＝2，则PA＝3，则PE2＝PA·PD＝6，PE＝.15．C8，E8，N1[2022·四川卷]设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到P1，P2，…，Pn点的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…，Pn点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．则有下列命题：①若A，B，C三个点共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)15．①④ [解析]对于①，如果中位点不在直线AB上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB上时，如果不与C重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C为唯一的中位点，①正确；对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为，显然2＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；对于③，当A，B，C，D四点共线时，不妨设他们的顺序就是A，B，C，D，则当点P在B，C之间运动时，点P到A，B，C，D四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．13．N1[2022·天津卷]如图1－2所示，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．图1－213. [解析]由切割线定理可得EA2＝EB·ED，有EB＝4，ED＝9.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝∠ADB，-15-\n由弦切角定理可得∠EAB＝∠ADB，所以∠EAB＝∠ABC，故AE∥BC.又BD∥AC，所以四边形AEBC是平行四边形，可得BC＝AE＝6，又由平行线分线段成比例定理可得＝，因为AE＝6，所以BF＝，故CF＝BC－BF＝.22．N1[2022·新课标全国卷Ⅱ]选修4－1：几何证明选讲：如图1－5，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．图1－522．解：(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知＝，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．(2)联结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.1－614．N1[2022·重庆卷]如图1－6所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．14．5 [解析]联结CE.由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，所以在Rt△BCD中，∠CBD＝30°.又在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝AB＝10，所以CE＝AC＝10.在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，故DE＝CE＝5.N2 选修4-2矩阵 -15-\n21．[2022·福建卷]N2(Ⅰ)选修4－2：矩阵与变换已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝)对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.(1)求实数a，b的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A)＝)，求点P的坐标．(Ⅰ)解：(1)设直线l：ax＋y＝1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M′(x′，y′)．由)＝)))＝)，得又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x＋(b＋2)y＝1.依题意得解得(2)由A)＝)，得解得y0＝0.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.故点P的坐标为(1，0)．N2[2022·江苏卷]B．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A＝－1,0) 0,2)，B＝1,0) 2,6)，求矩阵A－1B.解：设矩阵A的逆矩阵为a,c) b,d)，则－1,0) 0,2)a,c) b,d)＝1,0) 0,1)．即－a,2c) －b,2d)＝1,0) 0,1)，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，从而A的逆矩阵为A－1＝ 0,)))．所以A－1B＝ 0,)))1,0) 2,6)＝－1,0) －2,3)．2．N2，N3[2022·浙江卷]已知a∈R“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(1)以极坐标系Ox的极点O为原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cosθ＋ρ2sinθ＝1化成直角坐标方程．(2)在直角坐标系xOy中，曲线C：(θ为参数)，过点P(2，1)的直线与曲线C交于A，B两点．若|PA|·|PB|＝，求|AB|的值．2．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcosθ＋ρ3sinθ＝ρ.又在直角坐标系下，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，故化成直角坐标方程为x＋y(x2＋y2)＝.又(0，0)满足原极坐标方程．故所求的直角坐标方程为x＋y(x2＋y2)＝.(2)由题意，曲线C的直角坐标方程为x2＋2y2＝2.-15-\n设过点P(2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．及点A，B对应的参数分别为t1，t2.将直线的参数方程代入x2＋2y2＝2得(2＋tcosα)2＋2(1＋tsinα)2－2＝0.即(1＋sin2α)t2＋4(sinα＋cosα)t＋4＝0.则Δ＝16(2sinαcosα－sin2α)>0，且t1＋t2＝－，t1t2＝，由|PA|·|PB|＝得|t1t2|＝＝.故sin2α＝.又由Δ>0得0<tanα<2.故t1＋t2＝，t1t2＝.所以|AB|＝|t1－t2|＝＝.N3选修4-4参数与参数方程 23．N3[2022·新课标全国卷Ⅰ]选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．23．解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0，由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.7．N3[2022·安徽卷]在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2-15-\nC．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝17．B [解析]圆的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，故垂直于极轴的两条切线的直角坐标方程为x＝0，x＝2，其极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2.9．N3[2022·北京卷]在极坐标系中，点到直线ρsinθ＝2的距离等于________．9．1 [解析]极坐标系中点的对应直角坐标系中的点的坐标为(，1)，极坐标系中直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中直线方程为y＝2，所以距离为1.N3(Ⅱ)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．(Ⅱ)解：(1)由点A，在直线ρcosθ－＝a上，可得a＝.所以直线l的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.所以圆C的圆心为(1，0)，半径r＝1，因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，所以直线l与圆C相交．14．N3[2022·广东卷](坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1，1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，则l的极坐标方程为________．14．ρsin＝ [解析]曲线C的参数方程化为普通方程是x2＋y2＝2，点(1，1)在曲线上，易求得过(1，1)作圆C切线的方程是：x＋y＝2，其极坐标方程是ρ(cosθ＋sinθ)＝2，即ρsin＝.16．N3[2022·湖北卷](选修4－4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsinθ＋＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．-15-\n16. [解析]直线l的直角坐标方程为x＋y－m＝0，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝b2，由直线与圆相切得：m2＝2b2.又椭圆C的一般方程为＋＝1，直线过椭圆焦点，故m＝c，所以c2＝2b2e＝＝.9．N3[2022·湖南卷]在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．9．3 [解析]将参数方程化为普通方程可得，直线l：即y＝x－a，椭圆C：即＋＝1，可知其右顶点为(3，0)，代入直线方程可得a＝3.N3[2022·江苏卷]C．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)，试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.联立方程组解得公共点的坐标为(2，2)，，－1.15．[2022·江西卷]N3(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．N4[2022·江西卷](2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为__________________．15．(1)ρcos2θ－sinθ＝0 (2)[解析](1)曲线方程为y＝x2，将y＝ρsinθ，x＝ρcosθ代入得ρcos2θ－sinθ＝0.(2)－1≤|x－2|－1≤10≤|x－2|≤2－2≤x－2≤2，得0≤x≤4.23．N3[2022·辽宁卷]选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcos＝2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为-15-\n(t∈R为参数)，求a，b的值．23．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解得所以C1与C2交点的极坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.由参数方程可得y＝x－＋1，所以解得a＝－1，b＝2.C．N3[2022·陕西卷](坐标系与参数方程选做题)如图1－5，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．图1－5(θ为参数) [解析]设P(x，y)，则随着θ取值变化，P可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x2＋y2－x＝0x－2＋y2＝，表示以，0为圆心，半径为的圆，可得弦OP＝1×cosθ，所以可得故已知圆的参数方程为(θ为参数)．11．N3[2022·天津卷]已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为4，，则|CP|＝________.11．2 [解析]∵圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，∴圆心C的直角坐标为(2，0)．∵P点极坐标，∴化为直角坐标为(2，2)，∴|CP|＝＝2.23．N3[2022·新课标全国卷Ⅱ]选修4—4：坐标系与参数方程-15-\n已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点．(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．23．解：(1)依题意有P(2cosα，2sinα)，Q(2cos2α，2sin2α)，因此M(cosα＋cos2α，sinα＋sin2α)．M的轨迹的参数方程为(α为参数，0<α<2π)．(2)M点到坐标原点的距离d＝＝(0<α<2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．2．N2，N3[2022·浙江卷]已知a∈R“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(1)以极坐标系Ox的极点O为原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，并在两种坐标系中取相同的长度单位．把极坐标方程cosθ＋ρ2sinθ＝1化成直角坐标方程．(2)在直角坐标系xOy中，曲线C：(θ为参数)，过点P(2，1)的直线与曲线C交于A，B两点．若|PA|·|PB|＝，求|AB|的值．2．解：(1)极坐标方程两边同乘以ρ得ρcosθ＋ρ3sinθ＝ρ.又在直角坐标系下，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，故化成直角坐标方程为x＋y(x2＋y2)＝.又(0，0)满足原极坐标方程．故所求的直角坐标方程为x＋y(x2＋y2)＝.(2)由题意，曲线C的直角坐标方程为x2＋2y2＝2.设过点P(2，1)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．及点A，B对应的参数分别为t1，t2.将直线的参数方程代入x2＋2y2＝2得(2＋tcosα)2＋2(1＋tsinα)2－2＝0.即(1＋sin2α)t2＋4(sinα＋cosα)t＋4＝0.则Δ＝16(2sinαcosα－sin2α)>0，且t1＋t2＝－，t1t2＝，由|PA|·|PB|＝得|t1t2|＝＝.故sin2α＝.又由Δ>0得0<tanα<2.故t1＋t2＝，t1t2＝.-15-\n所以|AB|＝|t1－t2|＝＝.15．N3[2022·重庆卷]在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________．15．16 [解析]直线的普通方程为x＝4，代入曲线的参数方程得t＝±2，当t＝2时x＝4，y＝8；当t＝－2时x＝4，y＝－8，即有A(4，8)，B(4，－8)，于是|AB|＝8－(－8)＝16.N4(Ⅲ)选修4－5：不等式选讲 24．N4[2022·新课标全国卷Ⅰ]选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3<0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x∈(0，2)时，y<0，所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．(2)当x∈时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈都成立，故－≥a－2，即a≤，从而a的取值范围是设不等式|x－2|<a(a∈N*)的解集为A，且∈A，A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．-15-\n(Ⅲ)解：(1)因为∈A，且A，所以<a，且≥a.解得<a≤.又因为a∈N*，所以a＝1.(2)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号，所以f(x)的最小值为3.13．N4[2022·湖北卷]设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z＝________.13. [解析]由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)(1＋4＋9)＝14≥(x＋2y＋3z)2＝14，当＝＝时取“＝”，故x＝，y＝，z＝，则x＋y＋z＝.10．N4[2022·湖南卷]已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．10．12 [解析]因a＋2b＋3c＝6，由柯西不等式可知(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，可知a2＋4b2＋9c2≥＝12，即最小值为12.N4[2022·江苏卷]D．[选修4－5：不等式选讲]已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0.从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.24.N4[2022·辽宁卷]选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－a|，其中a>1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为，求a的值．24．解：(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)＝由|h(x)|≤2，解得≤x≤.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，-15-\n所以于是a＝3.15．N4[2022·陕西卷](考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．2 [解析]利用柯西不等式式可得：(am＋bn)(bm＋an)≥(＋)2＝mn(a＋b)2＝2.14．N4[2022·天津卷]设a＋b＝2，b>0，则当a＝________时，＋取得最小值．14．－2 [解析]＋＝＋＝＋＋≥＋2≥－＋1＝，当且仅当＝时，等号成立．联立a＋b＝2，b>0，a<0.可解得a＝－2.24．N4[2022·新课标全国卷Ⅱ]选修4－5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)＋＋≥1.24．证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，又a＋b＋c＝1，所以＋＋≥1.1．N4[2022·浙江卷](1)解不等式|x－1|＋|x－4|≥5.(2)求函数y＝|x－1|＋|x－4|＋x2－4x的最小值．1．解：(1)当x<1时，1－x＋4－x≥5，得x≤0，此时x≤0；当1≤x≤4时，x－1＋4－x≥5，得3≥5，此时x∈；当x>4时，x－1＋x－4≥5，得x≥5，此时x≥5.综上所述，原不等式的解集是(－∞，0]∪[5，＋∞)．(2)因为|x－1|＋|x－4|≥|(x－1)－(x－4)|＝3，当且仅当1≤x≤4时取等号；x2－4x＝(x－2)2－4≥－4，当且仅当x＝2时取等号．-15-\n故|x－1|＋|x－4|＋x2－4x≥3－4＝－1，当x＝2时取等号．所以y＝|x－1|＋|x－4|＋x2－4x的最小值为－1.16．N4[2022·重庆卷]若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解，则实数a的取值范围是________．16．(－∞，8] [解析]要使不等式无解，则a必须小于或等于|x－5|＋|x＋3|的最小值，而|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，则a≤8，所以实数a的取值范围是(－∞，8]．N5选修4-7优选法与试验设计1．[2022·云南师大附中月考]如图X8－4，已知圆O外有一点P，过P作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，联结PA并延长，交圆O于点C，联结PB交圆O于点D，若MC＝BC.(1)求证：△APM∽△ABP；(2)求证：四边形PMCD是平行四边形．图X8－41．证明：(1)∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2＝PN2＝NA·NB，∴＝，又∵∠PNA＝∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN＝∠PBN，即∠APM＝∠PBA，∵MC＝BC，∴∠MAC＝∠BAC，∴∠MAP＝∠PAB，∴△APM∽△ABP.(2)∵∠ACD＝∠PBN，∴∠ACD＝∠PBN＝∠APN，即∠PCD＝∠CPM，∴PM∥CD.∵△APM∽△ABP，∴∠PMA＝∠BPA，∵PM是圆O的切线，∴∠PMA＝∠MCP，∴∠PMA＝∠BPA＝∠MCP，即∠MCP＝∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．-15-
