第3讲 直接证明与间接证明分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·中山调研)设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的( )． A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 若“a＋b＝1”，则4ab＝4a(1－a)＝－42＋1≤1；若“4ab≤1”，取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝1”不成立；则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的充分不必要条件．答案 A2．(2022·金华十校联考)对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中真命题是( )．A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊂α，n∥α，则m∥nD．若m，n与α所成的角相等，则m∥n解析 对于平面α和共面的直线m，n，真命题是“若m⊂α，n∥α，则m∥n”．答案 C3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )．A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析 因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.答案 D4．(2022·四平二模)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )．A．②③B．①②③C．③D．③④⑤5\n解析 若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________________________．解析 “至少有n个”的否定是“最多有n－1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除．答案 a，b中没有一个能被5整除6．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．解析 取a＝2，b＝1，得m<n.再用分析法证明：－<⇐<＋⇐a<b＋2·＋a－b⇐2·>0，显然成立．答案 m<n三、解答题(共25分)7．(12分)若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立．∴··＞abc成立．上式两边同时取常用对数，得lg＞lgabc，5\n∴lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.8．(13分)(2022·鹤岗模拟)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？(1)证明 假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列．(2)解 当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．分层B级 创新能力提升1．(2022·漳州一模)设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋( )． A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案 D2．下列各式中对x∈R都成立的是( )． A．lg(x2＋1)≥lg(2x)B．x2＋1＞2xC.≤1D．x＋≥2解析 A、D中x必须大于0，故A、D排除，B中应x2＋1≥2x，故B不正确．答案 C3．(2022·株洲模拟)已知a，b，μ∈(0，＋∞)且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．5\n解析 ∵a，b∈(0，＋∞)且＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝10＋≥10＋2＝16，∴a＋b的最小值为16.∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.答案 (0,16]4．(2022·金华一模改编)已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.x35689lgx2a－ba＋c－11＋a－b－c3(1－a－c)2(2a－b)试将错误的对数值加以改正________．解析 由2a－b＝lg3，得lg9＝2lg3＝2(2a－b)从而lg3和lg9正确，假设lg5＝a＋c－1错误，则由得所以lg5＝1－lg2＝a＋c.因此lg5＝a＋c－1错误，正确结论是lg5＝a＋c.答案 lg5＝a＋c5．已知f(x)＝x2＋ax＋b.(1)求：f(1)＋f(3)－2f(2)；(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.(1)解 ∵f(1)＝a＋b＋1，f(2)＝2a＋b＋4，f(3)＝3a＋b＋9，∴f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.(2)证明 假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于.则－<f(1)<，－<f(2)<，－<f(3)<，∴－1<－2f(2)<1，－1<f(1)＋f(3)<1.∴－2<f(1)＋f(3)－2f(2)<2，这与f(1)＋f(3)－2f(2)＝2矛盾．∴假设错误，即所证结论成立．6．设函数f(x)＝x－a(x＋1)ln(x＋1)(x>－1，a≥0)．(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当m>n>0时，(1＋m)n<(1＋n)m.解 (1)f′(x)＝1－aln(x＋1)－a，①当a＝0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－1，＋∞)上是增函数；5\n②当a>0时，f(x)在上单调递增，在单调递减．(2)要证：(1＋m)n<(1＋n)m，只需证nln(1＋m)<mln(1＋n)，只需证<，设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝＝由(1)，知x－(1＋x)ln(1＋x)在[0，＋∞)单调递减，所以x－(1＋x)ln(1＋x)<0，即g(x)是减函数．而m>n>0，所以g(m)<g(n)，故原不等式成立.5
