第2讲 独立重复试验与二项分布分层A级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2022·湖北)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )．A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576解析 P＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864.答案 B2．(2022·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )．A.B.C.D.解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.答案 A3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )．A．[0.4,1]B．(0,0.4]C．(0,0.6]D．[0.6,1]解析 设事件A发生的概率为p，则Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A.答案 A4．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是( )．7\nA.B.C.D.解析 在第一次取到白球的条件下，在第二次取球时，袋中有2个白球和2个黑球共4个球，所以取到白球的概率P＝＝，故选C.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·台州二模)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析 由已知条件第2个问题答错，第3、4个问题答对，记“问题回答正确”事件为A，则P(A)＝0.8，P＝P＝(1－P(A)]P(A)P(A)＝0.128.答案 0.1286．(2022·重庆)将一枚硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．解析 由题意知，正面可以出现6次，5次，4次，所求概率P＝C6＋C6＋C6＝＝.答案 三、解答题(共25分)7．(12分)(2022·江苏)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的概率分布列；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．解 (1)由题意知，X的可能取值为10,5,2，－3.P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，7\nP(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.所以X的概率分布为X1052－3P0.720.180.080.02(2)设生产的4件甲产品中一等品有n(n≤4，且n∈N*)件，则二等品有(4－n)件．由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥，又n∈N*，所以n＝3或n＝4.所以P＝C×0.83×0.2＋C×0.84＝0.8192.故所求概率为0.8192.8．(13分)(2022·重庆)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．解 设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝，P(Bk)＝(k＝1,2,3)．(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(A1)＋P(11A2)＋P(1122A3)＝P(A1)＋P(1)P(1)P(A2)＋P(1)P(1)P(2)P(2)P(A3)＝＋××＋2×2×＝＋＋＝.(2)ξ的所有可能值为1,2,3由独立性，知P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(B1)＝＋×＝，P(ξ＝2)＝P(11A2)＋P(112B2)＝××＋2×2＝，P(ξ＝3)＝P＝2×2＝.7\n综上知，ξ的分布列为ξ123P从而E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝(次)．分层B级 创新能力提升1．一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )．A.B.C.D.解析 设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合的事件为R，则P(T)＝P(R)＝1－×＝，所以灯亮的概率P＝1－P(T)P(R)P()P()＝.答案 B2．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )．A.5B．C5C．C3D．CC5解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C3·27\n＝C5＝C5，故选B.答案 B3．(2022·湘潭二模)如果X～B(20，p)，当p＝且P(X＝k)取得最大值时，k＝________.解析 当p＝时，P(X＝k)＝Ck·20－k＝C·20，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．答案 104．(2022·九江一模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为________．解析 记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝3＋3＝，从而P(A)＝1－P(B)＝1－＝.答案 5．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列．解 (1)任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.所以，该下岗人员没有参加过培训的概率是P()＝P()·P(7\n)＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1.∴该人参加过培训的概率为1－0.1＝0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数X服从二项分布X～B(3,0.9)，P(X＝k)＝C0.9k×0.13－k，k＝0,1,2,3，∴X的分布列是X0123P0.0010.0270.2430.7296.(2022·山东)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D.由题意，知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，由于A＝B＋C＋D，根据事件的独立性和互斥性，得P(A)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)＝××＋××＋××＝.(2)根据题意，知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性，得P(X＝0)＝P()＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝××＝；P(X＝1)＝P(B)＝P(B)P()P()＝××＝；7\nP(X＝2)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝××＋××＝；P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD)＝××＋××＝；P(X＝4)＝P(CD)＝××＝，P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝.故X的分布列为X012345P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.7
