第八篇立体几何第1讲空间几何体A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是( )． A．0B．1C．2D．3解析 反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故③中不能组成正六棱锥；④显然错误，故选A.答案 A2．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )．A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析 画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．答案 A3．(2022·陕西)将正方体(如图(a)所示)截去两个三棱锥，得到图(b)所示的几何体，则该几何体的左视图为( )．7\n解析 还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．答案 B4．(2022·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．解析 A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图所示，E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是________(填序号)．7\n解析 B在面DCC1D1上的投影为C，F、E在面DCC1D1上的投影应分别在边CC1和DD1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．答案 ②6．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．解析 显然，三棱锥、圆锥的正视图可以是三角形；三棱柱的正视图也可以是三角形(把三棱柱放倒，使一侧面贴在地面上，并让其底面面对我们，如图所示)；只要形状合适、摆放适当(如一个侧面正对着观察者的正四棱锥)，四棱锥的正视图也可以是三角形(当然，不是任意摆放的四棱锥的正视图都是三角形)，即正视图为三角形的几何体完全有可能是四棱锥；不论四棱柱、圆柱如何摆放，正视图都不可能是三角形(可以验证，随意摆放的任意四棱柱的正视图都是四边形，圆柱的正视图可以是圆或四边形)．综上所述，应填①②③⑤.答案 ①②③⑤三、解答题(共25分)7．(12分)已知：图a是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图b是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．7\n解 图a几何体的三视图为：图b所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．8．(13分)已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．解 如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.∵△VA1C1∽△VMN，∴＝，∴x＝.即圆锥内接正方体的棱长为.7\nB级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2022·渝中质检)下图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是( )． 解析 ∵在这个正方体的展开图中，与有圆的面相邻的三个面中都有一条直线，当变成正方体后，这三条直线互相平行，∴选B.答案 B2．一个锥体的正视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )．解析 选项C不符合三视图中“宽相等”的要求．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上正确结论的序号是________．解析 由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．7\n答案 ①4．图(a)为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成；图(b)中的三视图表示的实物为________． 图(a) 图(b)解析 (1)由三视图可知从正面看到三块，从侧面看到三块，结合俯视图可判断几何体共由4块长方体组成．(2)由三视图可知几何体为圆锥．答案 4 圆锥三、解答题(共25分)5．(12分)正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？解 如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，高OS＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，在Rt△SOA中，OA＝＝2，∴AC＝4.∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.作OE⊥AB于E，则E为AB中点．连接SE，则SE即为斜高，在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝，∴SE＝，即侧面上的斜高为.6．(13分)(1)如图1所示的三棱锥的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，那么该三棱锥的左视图是图2还是图3?(2)某几何体的三视图如图4，问该几何体的面中有几个直角三角形？(3)某几何体的三视图如图5，问该几何体的面中有几个直角三角形？7\n解 (1)该三棱锥在侧(右)投影面上的投影是一直角三角形，该三棱锥的左视图应是题图2.(2)该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中OA、OB、OC两两垂直，∴△OAB、△OAC、△OBC都是直角三角形，但△ABC是锐角三角形．设AO＝a，OC＝c，OB＝b，则AC＝，BC＝，AB＝，∴cos∠BAC＝>0，∴∠BAC为锐角．同理，∠ABC、∠ACB也是锐角．综上所述，该几何体的面中共有三个直角三角形．(3)该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中，AB⊥BC，AB⊥BD，BD⊥CD，∴DC⊥面ABD，∴DC⊥AD，∴△ACD也是直角三角形．∴该几何体的面中共有四个直角三角形.7
