第7讲函数图象A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y＝esinx(－π≤x≤π)的大致图象为( )．解析 因－π≤x≤π，由y′＝esinxcosx>0，得－<x<.则函数y＝esinx在区间上为增函数，排除A、B、C，故选D.答案 D2．已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a，b)共有( )．A．2对B．5对C．6对D．无数对解析 显然f(x)＝－1为偶函数．其图象如图所示．f(x)＝要使值域y∈[0,1]，且a，b∈Z，则a＝－2，b＝0,1,2；a＝－1，b＝2；a＝0，b＝2，∴共有5对．答案 B3．已知函数f(x)＝x－tanx，若实数x0是函数y＝f(x)的零点，且0<t<x0，则f(t)的值( )．A．大于1B．大于0C．小于0D．不大于0解析 分别作出函数y＝x与y＝tanx在区间上的图象，得到0<x0<，且在区间(0，x0)内，函数y＝x的图象位于函数y＝tanx的图象上方，即0<x<x0时，f(x)>0，则f(t)>0，故选B.6\n答案 B4．如图，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C、D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数S＝f(t)的图象大致是( )．解析 当直线l从原点平移到点B时，面积增加得越来越快；当直线l从点B平移到点C时，面积增加得越来越慢．故选C.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a的值为________．解析 因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则有f(2＋x)＝f(2－x)对于任意实数x恒成立，即|x＋4|＋|x＋2－a|＝|x－4|＋|x－2＋a|对于任意实数x恒成立，从而有解得a＝6.答案 66．(2022·新课标全国)函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．解析 函数y＝＝和y＝2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0)，画出二者图象如图所示，易知y＝与y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8，6\n由对称性得x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8.答案 8三、解答题(共25分)7．(12分)讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．解 设y＝|1－x|，y＝kx，则方程的实根的个数就是函数y＝|1－x|的图象与y＝kx的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k<0时，方程没有实数根；当k＝0或k<－1或k≥1时，方程只有一个实数根；当0<k<1时，方程有两个不相等的实数根．8．(13分)已知函数f(x)＝.(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间．解 (1)f(x)＝＝1－，函数f(x)的图象是由反比例函数y＝－的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f(x)有两个单调递增区间：(－∞，－1)，(－1，＋∞)．B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．函数＝ln的大致图象为(如图所示)( )．解析 y＝－ln|2x－3|＝故当x>时，函数为减函数，当x<时，函数为增函数．答案 A2．(2022·江西)如右图，已知正四棱锥S－ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE＝x(0<x6\n<1)，截面下面部分的体积为V(x)，则函数y＝V(x)的图象大致为( )．解析 (1)当0<x<时，过E点的截面为五边形EFGHI(如图1所示)，连接FI，由SC与该截面垂直知，SC⊥EF，SC⊥EI，∴EF＝EI＝SEtan60°＝x，SI＝2SE＝2x，IH＝FG＝BI＝1－2x，FI＝GH＝AH＝2x，∴五边形EFGHI的面积S＝FG×GH＋FI×＝2x－3x2，∴V(x)＝VC－EFGHI＋2VI－BHC＝(2x－3x2)×CE＋2×××1×(1－2x)×(1－2x)＝x3－x2＋，其图象不可能是一条线段，故排除C，D.(2)当≤x<1时，过E点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG，则EG＝EF＝ECtan60°＝(1－x)，CG＝CF＝2CE＝2(1－x)，三棱锥E－FGC底面FGC上的高h＝ECsin45°＝(1－x)，∴V(x)＝×CG·CF·h＝(1－x)3，∴V′(x)＝－(1－x)2，又显然V′(x)＝－(1－x)2在区间上单调递增，V′(x)<0，∴函数V(x)＝(1－x)3在区间上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B，应选A.答案 A6\n二、填空题(每小题5分，共10分)3．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．解析 作出函数y＝log2(－x)及y＝x＋1的图象．其中y＝log2(－x)与y＝log2x的图象关于y轴对称，观察图象(如图所示)知－1<x<0，即x∈(－1,0)．也可把原不等式化为后作图．答案 (－1,0)4．(2022·北京)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．解析 作出函数f(x)＝的简图，方程f(x)＝k有两个不同的实根，也就是函数f(x)的图象与直线y＝k有两个不同的交点，所以0<k<1.答案 (0,1)三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集；(5)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三个不相等的实根}．解 (1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.(2)∵f(x)＝x|m－x|＝x|4－x|＝∴函数f(x)的图象如图：6\n由图象知f(x)有两个零点．(3)从图象上观察可知：f(x)的单调递减区间为[2,4]．(4)从图象上观察可知：不等式f(x)>0的解集为：{x|0<x<4或x>4}．(5)由图象可知若y＝f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则0<m<4，∴集合M＝{m|0<m<4}．6．(13分)设函数f(x)＝x＋(x∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C1，C1关于点A(2,1)的对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)．(1)求函数y＝g(x)的解析式，并确定其定义域；(2)若直线y＝b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标．解 (1)设P(u，v)是y＝x＋上任意一点，∴v＝u＋①.设P关于A(2,1)对称的点为Q(x，y)，∴⇒代入①得2－y＝4－x＋⇒y＝x－2＋，∴g(x)＝x－2＋(x∈(－∞，4)∪(4，＋∞))．(2)联立⇒x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0，∴Δ＝(b＋6)2－4×(4b＋9)＝b2－4b＝0⇒b＝0或b＝4.∴当b＝0时得交点(3,0)；当b＝4时得交点(5,4)．6
