考点42曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.（2022·山东高考理科·Ｔ8）已知双曲线（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()（A）（B）（C）（D）【思路点拨】先求出圆C的圆心坐标（3,0），半径r=2，再求出渐近线方程，由圆心到渐近线的距离等于半径即可得到a,b的关系，再由双曲线的右焦点为圆C的圆心知c=3，即可求出结果.【精讲精析】选A.双曲线的渐近线方程为bx+ay=0和bx-ay=0，圆心为（3,0），半径r=2.由圆心到直线的距离为，得4a2=5b2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心，所以c=3，即9=a2+b2，所以，a2=5，b2=4所以该双曲线的方程为.2．（2022·福建卷理科·Ｔ7）设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足=4:3:2，则曲线的离心率等于()（A）（B）或2（C）2（D）【思路点拨】根据=4:3:2，设出，然后按曲线为椭圆或者双曲线，在中分别利用定义求离心率.【精讲精析】选A.=4:3:2，其中，.若圆锥曲线为椭圆，则，，若圆锥曲线为双曲线，则-15-\n3.（2022·福建卷文科·Ｔ11）设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足：：=4:3:2，则曲线C的离心率等于（）（A）（B）（C）（D）【思路点拨】根据=4:3:2，设出的值，然后按曲线C为椭圆或者双曲线，在中分别利用定义求离心率.【精讲精析】选A.=4:3:2，其中，.若圆锥曲线C为椭圆，则，，若圆锥曲线C为双曲线，则二、填空题4.（2022·山东高考文科·Ｔ15）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为.【思路点拨】先求椭圆焦点，即双曲线的焦点，再由双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍求出b，然后写出双曲线的方程.【精讲精析】由题意知双曲线的焦点为（-，0），（，0），即c=，又因为双曲线的离心率为，所以a=2,故b2=3，所以双曲线的方程为.【答案】5.（2022·北京高考理科·T14）曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；-15-\n②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则的面积不大于.其中所有正确的结论的序号是.【思路点拨】写出曲线C的方程，再逐个验证三个结论.【精讲精析】设P(x,y)为曲线C上任意一点，则由，得C:，把（0，0）代入方程可得，与矛盾，故①不正确；当M(x,y)在曲线C上时，点M关于原点的对称点，也满足方程，故曲线C关于原点对称，故②正确；，故③正确.【答案】②③三、解答题6．（2022·安徽高考理科·Ｔ21）若，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足,求点P的轨迹方程.【思路点拨】设出Ｐ点坐标，通过Ｑ，Ｂ等中间量建立方程，消去中间量，求出点Ｐ的轨迹方程．【精讲精析】由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,),M(x,x),则即①再设由，即解得-15-\n②将①式代入②式，消去，得③又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得因为，两边同时除以得故所求点P的轨迹方程为.7.（2022·新课标全国高考理科·Ｔ20）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足，，M点的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值.【思路点拨】第（1）问，求点的轨迹，可设点坐标为，然后利用条件得到点B的坐标，最后将条件转化为坐标关系，得到满足的关系式，化简整理即得的方程；第（2）问，设出点的坐标，利用导数求出切线的斜率，表示出的方程，再利用点到直线的距离公式求得点到距离的函数，然后利用函数的知识求出最值即可.【精讲精析】(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）,=(0,-3-y),=(x,-2).再由题意可知（+）• =0,即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x-2.(2)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x,-15-\n因此直线的方程为，即.则O点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.8.（2022·山东高考理科·Ｔ22）已知直线l与椭圆C:交于P（x1,y1），Q(x2,y2)两不同点，且△OPQ的面积,其中O为坐标原点.（1）证明x 12+x22和y 12+y22均为定值；（2）设线段PQ的中点为M，求的最大值；（3）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.【思路点拨】本题重点考查学生的计算能力，相比较去年的圆锥曲线题目，今年的题目难度要大一些，是一道较好的选拔优秀学生的题目.（1）分斜率存在和不存在两种情况讨论.（2）利用第一问的结论，再应用基本不等式容易得出结论.（3）利用反证法，假设存在这样的点，经推理得出矛盾，从而证明原结论成立.【精讲精析】（1）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，由在椭圆上，则，而，则.于是，.当直线的斜率存在，设直线为，代入可得，即，由得，，化简得-15-\n.，，，整理得，满足，，，综上可知，.（2）当直线的斜率不存在时，由（1）知当直线的斜率存在时，由（1）知，，，，，当且仅当，即时等号成立，综上可知的最大值为.（3）假设椭圆上存在三点，使得，由（1）知，.-15-\n解得,，因此只能从中选取，只能从中选取，因此只能从中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与相矛盾，故椭圆上不存在三点，使得.9.（2022·山东高考文科·Ｔ22）在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.【思路点拨】本题重点考查学生的计算能力，相比较去年的圆锥曲线题目，今年的题目难度要大一些，是一道较好的选拔优秀学生的题目.（I）设直线，联立方程，再由韦达定理得出中点E的坐标，由三点共线，可知解得，由基本不等式得出最小值.（II）（i）注意先求出k和n的关系，再由交点直线系方程得出l过定点.-15-\n（ii）可先假设对称，然后通过运算验证这样的圆是否存在.【精讲精析】（Ⅰ）由题意:设直线,由消y得:,，设A，B,AB的中点E,则由韦达定理得:=,即,,所以中点E的坐标为,因为O，E，D三点在同一直线上，所以即，解得，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙，所以,又由（Ⅰ）知:,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).（ii）假设点，关于轴对称,则有△的外接圆的圆心在x轴上,-15-\n又在线段AB的中垂线上,由（i）知点G,所以点B,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E（），.AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，圆半径为，圆的方程为.综上所述,点，关于轴对称,此时△的外接圆的方程为:.10.（2022·辽宁高考理科·Ｔ20）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（I）设，求与的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．-15-\n【思路点拨】（I）先利用离心率相同设出的方程和直线的方程，再求出的坐标，然后计算与的长度就可求出比值；（II）先考虑直线过原点的情况，再考虑直线不过原点的情况，此时利用斜率相等（即＝）建立等式关系，再考虑的因素，可得到关于的不等式，求解说明即可．【精讲精析】(Ⅰ)因为的离心率相同，故依题意可设：，：，（，设直线：，分别与，的方程联立，求得当时，，分别用表示A，B的纵坐标，可知:=.（Ⅱ）时，不符合题意．时，∥当且仅当的斜率与的斜率相等，即，解得，因为，又，所以，解得，所以当时，不存在直线，使得∥；当时，存在直线，使得∥.11．（2022·湖南高考理科·T21）如图所示，椭圆x轴被曲线：-b截得的线段长等于的长半轴长.-15-\n（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与相交于点A，B，直线MA，MB分别与相交于点D，E.（i）证明：MD；（ii）记的面积分别为.问：是否存在直线l，使得？请说明理由.【思路点拨】本题以椭圆和抛物线为载体，考查两曲线的基本知识.题中第一问通过求曲线的方程考查两曲线的基本知识点的关系.第二问通过证明考查逻辑思维能力和探索参数的存在.解决本题需要较强的综合运用知识的能力.考查了数形结合思想、等价转化思想和方程思想.【精讲精析】（I）由题意知，从而，又，解得.故，的方程分别为.（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由得，设，则是上述方程的两个实根，于是.又A，B在直线上，∴y1=kx1,y2=kx2,又点的坐标为，所以-15-\n故，即.（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或则点A的坐标为,点M的坐标为（0，-1）.又直线的斜率为，同理可得点B的坐标为.于是由得，解得或则点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标于是.因此.由题意知，,解得或.又由点的坐标可知，，所以故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和.-15-\n12．（2022·湖南高考文科T21）已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求的最小值.【思路点拨】本题考查求曲线的方程，考查利用代数方法研究几何问题的基本方法，考查数形结合思想.考查运算能力，考查分析问题、解决问题的能力.【精讲精析】（I）设动点的坐标为，由题意知化简得当所以动点P的轨迹C的方程为（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．由得∴设则是上述方程的两个实根，于是．因为，所以的斜率为．设则同理可得，-15-\n当且仅当时，即时，取最小值16．13．（2022·陕西高考理科·T17）如图，设P是圆上的动点，点D是P在轴上投影，M为PD上一点，且．（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．【思路点拨】（Ⅰ）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（Ⅱ）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数的关系，结合两点的距离公式计算．【精讲精析】（Ⅰ）设点M的坐标是，点P的坐标是，因为点D是P在轴上投影，M为PD上一点，且，所以，且，∵P在圆上，∴，整理得，即C的方程是．-15-\n（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程是，设此直线与C的交点为，，将直线方程代入C的方程得：，化简得，∴，，所以线段AB的长度是，即所截线段的长度是．-15-
