第九章第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、选择题1．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤－2)＝( )A．0.16 B．0.32C．0.68D．0.842．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，a、b、c∈(0,1)，且无其他得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为( )A.B.C.D.3．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )A．100B．200C．300D．4004．若随机变量X～N(1,4)，P(X≤0)＝m，则P(0<X<2)＝( )A．1－2mB.C.D．1－m5．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球2次(每次罚球结果互不影响)得分的均值是( )A．0.7B．1C．1.4D．26．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，若随机变量ξ＝|a－b|的取值，则ξ的数学期望E(ξ)＝( )A.B.C.D.二、填空题7．某县农民的月均收入ξ服从正态分布，即ξ～N(1000,402-6-\n)，则此县农民月均收入在1000元到1080元间人数的百分比为________．8．随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ<1)＝0.8413，则P(－1<ξ<0)＝________.9．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.三、解答题10．中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q(简称血酒含量，单位是毫克/100毫升)，当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q>80时，为醉酒驾车．济南市公安局交通管理部门于2022年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中Q≥140的人数计入120≤Q<140人数之内)．(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数；(2)从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数X的分布列和数学期望．11．甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关．甲能攻克的概率为，乙能攻克的概率为，丙能攻克的概率为.(1)求这一技术难题被攻克的概率；-6-\n(2)现假定这一技术难题已被攻克，上级决定奖励a万元．奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得万元．设甲得到的奖金数为X，求X的分布列和数学期望．12．某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中：(1)恰有2人申请A片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．详解答案一、选择题1．解析：∵ξ～N(1，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，∴P(ξ≤－2)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ≤4)＝0.16.答案：A2．解析：依题意得3a＋2b＋0×c＝1，∵a>0，b>0，∴3a＋2b≥2，即2≤1，∴ab≤.答案：B3．解析：记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200.答案：B4．解析：据题意知正态曲线关于直线x＝1对称，-6-\n故P(0<X<1)＝－P(X≤0)＝－m，因此P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2(－m)＝1－2m.答案：A5．解析：设X表示此运动员罚球2次的得分，则X的所有可能取值为0,1,2.其分布列为X012P0.3×0.32×0.7×0.30.7×0.7∴E(X)＝0×0.09＋1×0.42＋2×0.49＝1.4.答案：C6．解析：对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2CCC＝126条，ξ的可能取值有0、1、2.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，E(ξ)＝.答案：A二、填空题7．解析：P(1000<ξ≤1080)＝P(920<ξ≤1080)＝P(1000－80<ξ≤1000＋80)＝×0.9544＝0.477.答案：47.72%8．解析：依题意得P(－1<ξ<0)＝P(0<ξ<1)＝P(ξ<1)－P(ξ<0)＝0.8413－0.5＝0.3413.答案：0.34139．解析：∵P(X＝0)＝＝(1－p)2×，∴p＝，随机变量X的可能值为0,1,2,3，-6-\n因此P(X＝0)＝，P(X＝1)＝×()2＋×()2＝，P(X＝2)＝×()2×2＋×()2＝，P(X＝3)＝×()2＝，因此E(X)＝1×＋2×＋3×＝.答案：三、解答题10．解：(1)由已知得，(0.0032＋0.0043＋0.0050)×20＝0.25,0.25×60＝15，所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．(2)易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人，所以X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，X的分布列为X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.11．解：(1)这一技术难题被攻克的概率P＝1－(1－)(1－)(1－)＝1－××＝.(2)X的可能取值分别为0，，，a.P(X＝0)＝＝，P(X＝)＝＝，P(X＝)＝＝，-6-\nP(X＝a)＝＝.∴X的分布列为X0aPE(X)＝0×＋×＋×＋a×＝a.12．解：(1)法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C·22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为＝.法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验．记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)＝.从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为P4(2)＝C()2()2＝.(2)ξ的所有可能值为1,2,3.P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝(或P(ξ＝2)＝＝)，P(ξ＝3)＝＝(或P(ξ＝3)＝＝)．综上知，ξ有分布列ξ123P从而有：E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.-6-
