习题课 指数函数及其性质的应用必备知识基础练1.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数y=f(x)的图像大致是( )答案B解析函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1,a2),由于指数函数是单调函数,则有a>1.由底数大于1知指数函数的图像上升,且在x轴上方,可知B正确.2.函数f(x)=的单调递增区间为( ) A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,1)D.(1,+∞)答案A解析令u(x)=x2-1,∵f(x)=,0<<1,∴f(x)的单调递增区间为u(x)=x2-1的单调递减区间,即(-∞,0).3.(多选题)(2020江苏南京师大附中高一期中)若指数函数y=ax在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,则a的值可能是( )A.2B.C.3D.答案AB解析当a>1时,指数函数y=ax单调递增,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=a,最小值ymin=.所以a+=5,求得a=2或a=(舍);5
当0<a<1时,指数函数y=ax单调递减,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=,ymin=a,所以a+=5,求得a=2(舍)或a=.综上所述,a=2或a=.4.设函数f(x)=,则函数f的定义域为( )A.(-∞,4]B.-∞,C.(0,4]D.0,答案A解析因为f(x)=,所以f=,因为4-≥0,即≤4,所以≤1,x≤4,所以f的定义域为(-∞,4].5.已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f=2,则不等式f(2x)>2的解集为 . 答案(-1,+∞)解析∵f(x)是偶函数,且f=2,又f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增.由f(2x)>2,得2x>,即2x>2-1,∴x>-1,即不等式f(2x)>2的解集是(-1,+∞).6.已知a>0且a≠1,若函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上的最大值为10,则a= . 答案解析若a>1,则函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上单调递增,当x=2时,f(x)取得最大值f(2)=2a2-4=10,即a2=7,又a>1,所以a=.若0<a<1,则函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上单调递减,当x=-1时,f(x)取得最大值f(-1)=2a-1-4=10,所以a=.综上所述,a的值为.7.设函数f(x)=4x-2a+x-a,a∈R.(1)当a=2时,解不等式f(x)>30;(2)当x∈(-1,1)时,f(x)存在最小值-2,求a的值.5
解设2x=t(t>0),则y=t2-2a·t-a,(1)当a=2时,f(x)>30⇔y=t2-4t-32>0,∴t<-4或t>8.∵t>0,∴t>8,∴2x>8,∴x>3,∴不等式的解集为{x|x>3}.(2)由题意得,当x∈(-1,1)时,必有函数图像的对称轴t0=2a-1∈,即0<a<2,故函数的最小值为m==-2,∴a+22a-2=2,由于关于a的函数y=a+22a-2单调递增,故最多有一个实根,而当a=1时,a+22a-2=2,∴a的值为1.关键能力提升练8.设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )A.(-3,1)B.(-∞,-3)∪(1,+∞)C.(-∞,-3)D.(1,+∞)答案A解析当a<0时,-7<1⇔<8⇔2-a<23⇔-a<3⇔a>-3,∴-3<a<0.当a≥0时,<1⇔a<1,∴0≤a<1.综上,-3<a<1.故选A.9.(多选题)已知函数f(x)=2-x-2x.下列四个结论中正确的是( )A.f(0)=0B.f(x)是奇函数C.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增D.对任意的实数a,方程f(x)-a=0都有解答案ABD5
解析f(x)=2-x-2x,f(0)=20-20=0,A正确;f(x)的定义域为R,f(-x)=2x-2-x=-f(x),f(x)是奇函数,B正确;f(x)=-2x在R上是减函数,C错误;由于x→-∞时,f(x)→+∞;x→+∞时,f(x)→-∞,即f(x)的值域是(-∞,+∞),它又是R上的减函数,因此对任意实数a,f(x)=a有唯一解,D正确.10.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)= ;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为 . 答案2-x-4 {x|x<0或x>4}解析设x<0,则-x>0,∴f(-x)=2-x-4.又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.于是f(x-2)>0可化为解得x>4或x<0.11.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是 . 答案解析由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)>f(-)可化为f(2|a-1|)>f(),则2|a-1|<,|a-1|<,解得<a<.学科素养创新练12.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求m,n的值;(2)当x∈时,f(kx2)+f(2x-1)>0恒成立,求实数k的取值范围.解(1)∵f(x)在定义域R上是奇函数,∴f(0)=0,∴n=1.又由f(-1)=-f(1),得m=2.检验知,当m=2,n=1时,原函数是奇函数.(2)由(1)知f(x)==-,任取x1,x2∈R,设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=.∵函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,5
∴<0.又(+1)(+1)>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),∴函数f(x)在R上是减函数.∵f(x)是奇函数,∴不等式f(kx2)+f(2x-1)>0等价于f(kx2)>-f(2x-1)=f(1-2x).又f(x)在R上是减函数,由上式推得kx2<1-2x,即对一切x∈有k<恒成立.设g(x)=-2·,令t=,t∈,则有h(t)=t2-2t,t∈,∴g(x)min=h(t)min=h(1)=-1,∴k<-1,即k的取值范围为(-∞,-1).5
