考点28组合体的“切”“接”综合问题一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:1.1球的性质球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R，截面圆的半径，球心到截面圆的距离为，则.1.2长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.1.3几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为，球的半径为，①正方体的外接球，则；②正方体的内切球，则；③球与正方体的各棱相切，则.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.4与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.1.5.解决与球有关的切、接问题的方法：(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点中两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．1.6.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的．2.命题规律展望：球与多面体、旋转体的“切”、“接”15\n问题，是高考的热点和重点，主要以球与多面体、旋转体的“切”、“接”问题考查球的性质、多面体与旋转体的特征、球的表面积、体积，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，题型为选择题或填空题，难度为中档题或难题，分值为5分值.二、题型与相关高考题解读1.棱柱的外接球问题1.1考题展示与解读例1【2022课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为________．【命题意图探究】本题主要考查长方体的对角线性质、球的表面积公式,是容易题.【答案】【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】对球内接直棱柱问题，利用球心到棱柱底面所在的截面圆的距离就是棱柱高的一半，棱柱底面所在的截面圆的半径利用正弦定理计算，再利用球的截面性质即可求出球的半径，再利用球的表面积或体积公式计算球的表面积或体积.1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.B.C.D.【答案】B【变式2：改编结论】底面边长为，侧棱长为的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（)15\nA.B.C.D.【答案】D【解析】分别取上下底面三角形的中心O1，O2，则球心为O1O2的中点M，设底面三角形的外接圆半径为R，则：，解得：，据此可得，外接球半径为：，所以该球的体积为：，故选D.【变式3：改编问法】已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（）A.16B.C.D.8【答案】C【解析】由该三视图可知：该几何体是一个正方体，切去四个角所得的正四面体，其外接球等同于该正方体的外接球，设正方体的棱长为，则有，故该正四面体的体积为，选C.2.球与圆柱或圆锥的切接问题2.1考题展示与解读例2【2022课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．A．B．C．D．【命题意图探究】本题主要考查球内接圆柱的体积问题，是基础题.【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，15\n由圆柱的体积公式可得：圆柱的体积是，故选B.【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】对球内接圆柱问题，利用球的截面性质沟通球的半径与圆柱底面半径高之间的关系.2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得圆柱底面半径为，选D.【变式2：改编结论】已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【变式3：改编问法】某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是边长为的正三角形，该几何体的外接球的表面积为（）15\nA.B.C.D.【答案】B【解析】此几何体为圆锥，过圆锥的旋转轴做轴截面，△ABC是边长为的正三角形，其高为3，△ABC的外心即为外接球的球心，外接球半径，外接球的表面积故选B.2.棱锥的外接球问题3.1考题展示与解读例3【2022课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【命题意图探究】本题主要考查球内接棱柱问题及球的表面积，是中档题.【答案】【解析】取的中点，连接，因为所以因为平面平面所以平面设所以，所以球的表面积为【解题能力要求】空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力【方法技巧归纳】球内接棱锥问题，若有同一顶点上三条垂直的棱，可将三棱锥补成球内接长方体，利用长方体的对角线的平方等于同于同一顶点三棱长的平方和、长方体的对角线等于球的直径沟通球与棱锥量之间的关系.3.2【典型考题变式】15\n【变式1：改编条件】某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l，则该多面体的外接球的表面积是A.27πB.πC.9πD.π【答案】A【解析】根据三视图可知，该多面体为镶嵌在正方体中的四棱锥，故外接球直径即正方体的体对角线长，，故选：A【变式2：改编结论】在正三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的直径为()A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】由题设底面中心到顶点的距离为，故正三棱锥的高为，设外接球的球心到底面的距离为，则由勾股定理可得，解之得，所以外接球的直径为，应选答案A。【变式3：改编问法】已知四棱锥E-ABCD的都在球心为，半径为的球面上，四边形ABCD为矩形，，且，则四棱锥E-ABCD的体积的最大值为（）A.B.，C.D.【答案】A2.多面体内切球问题15\n4.1考题展示与解读例4【2022高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（）（A）4π（B）（C）6π（D）【命题意图探究】本题主要考查直棱柱内的球的最大体积问题，是中档题.【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】立体几何最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bienao）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_______．【答案】【解析】设的中点为，如图，由，且为直角三角形，得,由两两垂直，可知为和的斜边，故点到点的距离相等，故点为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为,则由.得，解得,由等体积法，知.即，解得.故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.15\n【变式2：改编结论】在正方体中，若内切圆的半径为，则该正方体内切球的表面积为()A.B.C.D.【答案】D【解析】设正方体棱长为，内切球的半径为,则，故选：D.【变式3：改编问法】已知一个直三棱柱，其底面是正三角形，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是A.B.C.D.【答案】B三、课本试题探源必修2P28页练习第2题：一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，求球的体积.【解析】由正方体的对角线性质知，球的半径为，所以球的体积为=.四．典例高考试题演练1.【2022届”超级全能生”高考全国卷26省9月联考】若正四棱锥内接于球15\n，且底面过球心，设正四棱锥的高为，则球的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可得，正方形ABCD的外接圆是大圆，所以半径为1，。选A.2.【2022届新疆二模】如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A．B．27πC．27πD．【答案】B【解析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为3的正方形，且高为3，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，所以外接球半径R满足：2R==，所以外接球的表面积为S=4πR2=27π，故选：B．3.【2022届玉林一模】网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程，某同学有一圆锥状的木块，想把它“车成珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为12cm，体积为96πcm3，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积最大值是（ ）A．36πcm3B．12πcm3C．9πcm3D．72πcm3【答案】A15\n4.【2022届湖南湘潭二模】半径为2的球O中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（ ）A．16（）B．16（）C．8（2）D．8（2）【答案】B【解析】设球内接正四棱柱的底面边长为a，高为h，则球的半径r==2，∴h2+2a2=16≥2ah，∴ah≤4，∴S侧=4ah≤16，球的表面积S=4π×22=16π，∴当四棱柱的侧面积最大值时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为16π﹣16=16（），故选B．5.【2022届湖北省襄阳四中8月考】已知一个四棱锥三视图如图所示，若此四棱锥的五个顶点在某个球面上，则该球的表面积为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意,四棱锥的底面是正方形,顶点到底面的距离为，顶点在底面上的射影到中心的距离为4，设球心到底面的距离为h,则，∴，∴球的表面积为，故选D.6.【2022届河北省邢台市第一次月考】将半径为的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（）A.B.C.D.15\n【答案】B7.【2022年福建省总复习立体几何形成性】若一个正四面体的表面积为，其内切球的表面积为，则＝（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设正四面体棱长为，则正四面体表面积为，其内切球半径为正四面体高的，即，因此内切球表面积为，则,故选D8.【2022届河南省洛阳市上学期尖子生第一次联考】已知球与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球的体积为（）A.B.C.D.【答案】A15\n9.【2022届湖南郴州市一高9月考】某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】如图，从题设中提供的三视图可以看出这是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，其中，故，取的中点为，连，则，故为三棱锥，的外接球的球心，则外接球的半径，所以外接球的表面面积是，应选答案A。10.【2022届辽宁省庄河市高中上学期开学】已知三棱锥15\n的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D11.【2022届河南省八市重点高中高三第一次测评】三棱锥的一条长为，其余棱长均为，当三棱锥的体积最大时，它的外接球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A15\n12.【2022届江苏】如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是 ．【答案】【解析】设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．13.【2022届湖北省武汉市新高三起点调研考】已知三棱锥的三条棱所在的直线两两垂直且长度分别为3，2，1，顶点都在球的表面上，则球的表面积为__________.【答案】【解析】设外接球的半径为R，结合题意可得：，所以球O的表面积为：.14.【2022届河南省周口市中英文学校上学期开学摸底考】已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA与底面垂直，且PA=AB，若该四棱锥的侧面积为，则该四棱锥外接球的表面积为__．【答案】【解析】设，∵四棱锥的侧面积为，∴，∴，∴四棱锥外接球的直径为，半径为，∴四棱锥外接球的表面积为，故答案为.15.【2022届江西省红色七校第一次联考】已知正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，当球的体积最小时，正六棱柱底面边长为_________．15\n【答案】15
