专题对点练25 7.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为( )A.30B.532C.42D.332.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-B.-C.3D.23.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是( )A.18B.62C.52D.424.已知直线l:mx+y-1=0(m∈R)是圆C:x2+y2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A(-2,m)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|为( )A.4B.25C.42D.35.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为( )A.114B.554C.4120D.56.已知点P(x,y)是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B为切点,若四边形PACB面积的最小值是2,则k的值是( )A.2B.212C.2D.227.(2022全国Ⅲ,文10)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A.2B.2C.322D.228.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( )A.x24-y212=1B.x212-y24=1C.x23-y2=1D.x2-y23=19.已知离心率为52的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若S△OMF2=16,则双曲线C的实轴长是( )A.32B.16C.8D.4二、填空题(共3小题,满分15分)10.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若∠FAC=120°,则圆的方程为 . 11.(2022江苏,8)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c,则其离心率的值为 . 12.(2022浙江,17)已知点P(0,1),椭圆x24+y2=m(m>1)上两点A,B满足AP=2PB,则当m= 时,点B横坐标的绝对值最大. 三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)13.已知在三角形ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A的轨迹M的方程;(2)P为轨迹M上动点,△PBC的外接圆为☉O1(O1为圆心),当P在M上运动时,求点O1到x轴的距离的最小值.5\n14.已知点A(0,-2),椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为233,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.15.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为b22.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率;②求椭圆的方程.5\n专题对点练25答案1.A 解析圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=10,圆心到直线x-3y+3=0的距离d=|1-9+3|10=510,故弦|AB|=210-2510=30,故选A.2.A 解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以|a+4-1|a2+12=1,解得a=-,故选A.3.B 解析由x2+y2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,∴圆半径r=32.圆上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是d+r,d-r,其两者之差即为圆的直径,故圆的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是62,故选B.4.A 解析由x2+y2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C(2,-1),r=2.由题意可得,直线l:mx+y-1=0经过圆C的圆心(2,-1),则2m-1-1=0,∴m=1,故点A(-2,1).∵|AC|=20,|CB|=r=2,∴切线的长|AB|=20-4=4.5.C 解析圆的内接四边形对角互补,因为x轴与y轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以2×1+1×k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x+ky-3=0与坐标轴的交点为0,-32,(3,0),两直线的交点纵坐标为-,所以四边形的面积为×3×32-12×1×25=4120,故选C.6.C 解析∵圆的方程为x2+(y-1)2=1,∴圆心C(0,1),半径r=1.根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P的距离最小时,即距离为圆心到直线l的距离最小时,切线长PA,PB最小.切线长为2,∴|PA|=|PB|=2,∴圆心到直线l的距离为d=5.直线方程为y+4=kx,即kx-y-4=0,∴5=|-4-1|1+k2,解得k=±2,∵k>0,∴所求直线的斜率为2.故选C.7.D 解析∵双曲线C的离心率为2,∴e=ca=2,即c=2a,∴a=b.∴其渐近线方程为y=±x,故(4,0)到C的渐近线的距离d=|4|2=22.8.D 解析∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴c=2,ba=tan60°,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.∴双曲线的方程为x2-y23=1.故选D.9.B 解析设F2(c,0),双曲线C一条渐近线方程为y=x,可得|F2M|=bca2+b2=b.∵OM⊥MF2,∴|OM|=c2-b2=a,由S△OMF2=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且ca=52,解得a=8,即有双曲线的实轴长为16.故选B.10.(x+1)2+(y-3)2=1 解析∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,由题意可设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=1(b>0),则C(-1,b),A(0,b).∵∠FAC=120°,∴kAF=tan120°=-3,直线AF的方程为y=-3x+3.∵点A在直线AF上,∴b=3.则圆的方程为(x+1)2+(y-3)2=1.11.2 解析因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线y=±x的距离为|bc±0|a2+b2=bcc=b,所以b=32c.因为a2=c2-b2=c2-c2=c2,所以a=c,e=2.12.5 解析设A(x1,y1),B(x2,y2).5\n∵P(0,1),∴AP=(-x1,1-y1),PB=(x2,y2-1).∵AP=2PB,∴-x1=2x2,1-y1=2(y2-1),即x1=-2x2,y1=3-2y2.又x124+y12=m,∴(-2x2)24+(3-2y2)2=m,即4x224+4y22-12y2+9=m.又x224+y22=m,∴4m-12y2+9=m,即12y2=3m+9,4y2=m+3.∴x224+m+342=m,即x22+m2+6m+94=4m,即x22=-m24+52m-.∴当m=5时,x22的最大值为4,即点B横坐标的绝对值最大.13.解(1)根据题意知,动点A满足椭圆的定义,设椭圆的方程x2a2+y2b2=1(a>b>0且y≠0),所以,有|F1F2|=|BC|=2c=2,|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4,且a2=b2+c2,解得a=2,b=3,所以,动点A的轨迹M满足的方程为x24+y23=1(y≠0).(2)设P(x0,y0),不妨设0<y0≤3,线段PB的垂直平分线方程为y-y02=-x0+1y0x-x0-12,线段BC的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得y=-x0+1y0·-x0-12+y02=x02-12y0+y02.因为x024+y023=1,所以y=32y0-y06,所以☉O1的圆心O1到x轴的距离d=32y0-y06.又知y=32y0-y06在(0,3)内是单调递减函数,所以当y0=3时,ymin=33,所以dmin=33.14.解(1)设F(c,0),由条件知2c=233,得c=3.又ca=32,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为x24+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入x24+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>34时,x1,2=8k±24k2-34k2+1.从而|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+1·4k2-34k2+1.又点O到直线PQ的距离d=2k2+1,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=44k2-34k2+1.设4k2-3=t,则t>0,S△OPQ=4tt2+4=4t+4t.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±72时,等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=72x-2或y=-72x-2.15.解(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=b22.5\n又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为1m.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为x2c+yc=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=(2m-2)cm+2,y=3cm+2,即点Q的坐标为(2m-2)cm+2,3cm+2.由已知|FQ|=c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.②由a=2c,可得b=3c,故椭圆方程可以表示为x24c2+y23c2=1.由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-13c7(舍去)或x=c.因此可得点Pc,3c2,进而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=3c2×34=9c8,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=27c232,同理△FPM的面积等于75c232,由四边形PQNM的面积为3c,得75c232-27c232=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为x216+y212=1.5
