专题突破练4 从审题中寻找解题思路一、选择题1.(2022河北唐山三模,理3)已知tan=1,则tan=( ) A.2-B.2+C.-2-D.-2+2.(2022河北衡水中学十模,理3)已知△ABC中,sinA+2sinBcosC=0,b=c,则tanA的值是( )A.B.C.D.3.已知F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2最小的内角为30°,则双曲线C的渐近线方程是( )A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=04.(2022河南六市联考一,文5)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的图象与函数g(x)=cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,则φ为( )A.B.-8\nC.D.-5.已知双曲线C:x2-=1,过点P(1,1)作直线l,使l与C有且只有一个公共点,则满足上述条件的直线l的条数共有( )A.3B.2C.1D.46.(2022河北保定一模,文4)已知非零向量a=(x,2x),b=(x,-2),则“x<0或x>4”是“向量a与b的夹角为锐角”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设双曲线=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为c,则双曲线的离心率为( )A.2B.C.D.8.已知函数f(x)既是二次函数又是幂函数,函数g(x)是R上的奇函数,函数h(x)=+1,则h(2018)+h(2017)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2017)+h(-2018)=( )A.0B.2018C.4036D.4037二、填空题9.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=3,b=2,且accosB=a2-b2+bc,则B= . 8\n10.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i行第j列的数为ai,j(i,j∈N*),则(1)a9,9= ; (2)表中的数82共出现 次. 234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……………………11.已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若b是和2的等比中项,c是1和5的等差中项,则a的取值范围是 . 三、解答题12.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{an}的通项;(2)设{bn-(-1)nan}是等比数列,且b2=7,b5=71.求数列{bn}的前n项和Tn.13.已知函数f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.8\n参考答案专题突破练4 从审题中寻找解题思路1.D 解析tan=tan==-2+.2.A 解析∵sinA+2sinBcosC=0,∴sin(B+C)+2sinBcosC=0.∴3sinBcosC+cosBsinC=0.∵cosB≠0,cosC≠0,∴3tanB=-tanC.∵b=c,∴c>b.∴C>B.∴B为锐角,C为钝角.∴tanA=-tan(B+C)=-,当且仅当tanB=时取等号.∴tanA的最大值是.故选A.3.A 解析由题意,不妨设|PF1|>|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.在△PF1F2中,|F1F2|=2c,而c>a,所以有|PF2|<|F1F2|,所以∠PF1F2=30°,所以(2a)2=(2c)2+(4a)2-2·2c·4acos30°,得c=a,所以b=a,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,即y=±x,即x±y=0.4.D 解析∵两函数图象的对称中心完全相同,∴两个函数的周期相同,∴ω=2,8\n即f(x)=2sin,而函数f(x)的对称中心为(kπ,0),∴2x+=kπ,x=,则g=cos=cos=±cos=0,即φ-=kπ+,则φ=kπ+,当k=-1时,φ=-.5.D 解析当直线l斜率存在时,令l:y-1=k(x-1),代入x2-=1中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-k2+2k-5=0.当4-k2=0,即k=±2时,l和双曲线的渐近线平行,有一个公共点.当k≠±2时,由Δ=0,解得k=,即k=时,有一个切点.直线l斜率不存在时,x=1也和曲线C有一个切点.综上,共有4条满足条件的直线.6.B 解析向量a与b的夹角为锐角的充要条件为a·b>0且向量a与b不共线,即x2-4x>0,且-2x≠2x2,∴x>4或x<0,且x≠-1,故x>4或x<0是向量a与b夹角为锐角的必要不充分条件,选B.7.A 解析∵直线l过(a,0),(0,b)两点,∴直线l的方程为=1,即bx+ay-ab=0.又原点到直线l的距离为c,∴c,即c2,又c2=a2+b2,∴a2(c2-a2)=c4,8\n即c4-a2c2+a4=0,化简得(e2-4)(3e2-4)=0,∴e2=4或e2=.又∵0<a<b,∴e2==1+>2,∴e2=4,即e=2,故选A.8.D 解析∵函数f(x)既是二次函数又是幂函数,∴f(x)=x2.∴h(x)=+1,因此h(x)+h(-x)=+1++1=2,h(0)=+1=1,因此h(2018)+h(2017)+h(2016)+…+h(1)+h(0)+h(-1)+…+h(-2017)+h(-2018)=2018×2+1=4037,选D.9. 解析∵accosB=a2-b2+bc,∴(a2+c2-b2)=a2-b2+bc.∴b2+c2-a2=bc.∴cosA=,∴sinA=.由正弦定理得,∴sinB=.∵b<a,∴B=.10.(1)82 (2)5 解析(1)a9,9表示第9行第9列,第1行的公差为1,第2行的公差为2……第9行的公差为9,第9行的首项b1=10,则b9=10+8×9=82.8\n(2)第1行数组成的数列a1,j(j=1,2,…)是以2为首项,公差为1的等差数列,所以a1,j=2+(j-1)·1=j+1;第i行数组成的数列ai,j(j=1,2,…)是以i+1为首项,公差为i的等差数列,所以ai,j=(i+1)+(j-1)i=ij+1,由题意得ai,j=ij+1=82,即ij=81,且i,j∈N*,所以81=81×1=27×3=9×9=1×81=3×27,故表格中82共出现5次.11.(2) 解析因为b是和2的等比中项,所以b==1;因为c是1和5的等差中项,所以c==3.又因为△ABC为锐角三角形,①当a为最大边时,有解得3≤a<;②当c为最大边时,有解得2<a≤3.由①②得2<a<,所以a的取值范围是(2).12.解(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),∵a1=2,且a2,a4,a8成等比数列,∴(3d+2)2=(d+2)(7d+2),解得d=2,故an=a1+(n-1)d=2n.(2)令cn=bn-(-1)nan,设{cn}的公比为q.∵b2=7,b5=71,an=2n,∴c2=b2-a2=3,c5=81,∴q3==27,q=3,∴cn=c2=3n-1.从而bn=3n-1+(-1)n2n.Tn=b1+b2+…+bn=(30+31+…+3n-1)+[-2+4-6+…+(-1)n2n],当n为偶数时,Tn=,当n为奇数时,Tn=.13.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a.8\n若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x)<0.所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.因此f>2a-2等价于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).8
