精做12万有引力定律的相关计算1．（2022·安徽卷）由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形边长为a。求：（1）A星体所受合力大小FA；（2）B星体所受合力大小FB；（3）C星体的轨道半径RC；（4）三星体做圆周运动的周期T。【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】（1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为方向如图，则合力大小为（2）同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为方向如图，则合力大小为。可得（3）通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，（4）三星体运动周期相同，对C星体，由13\n可得2．（2022·全国大纲卷）已知地球的自转周期和半径分别为T和R，地球同步卫星A的圆轨道半径为h。卫星B沿半径为r（r<h）的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同。求：（1）卫星B做圆周运动的周期；（2）卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）。【答案】（1）T′=（2）t=(arcsin+arcsin)T（2）设卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔t，在时间间隔t内，卫星A和B绕地心转过的角度分别为α和β，则：α=×2π，β=×2π④若不考虑卫星A的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B的位置应在下图中B点和B′点之间，图中内圆表示地球的赤道。由图中几何关系得：∠BOB′=2(arcsin+arcsin)⑤由③式知，当r<h时，卫星B比卫星A转得快，考虑卫星A的公转后应有：β–α=∠BOB′⑥由③④⑤⑥式联立解得：t=(arcsin+arcsin)T3．某一星球上，宇航员站在距离地面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经时间t13\n后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：（1）该星球表面的重力加速度g；（2）该星球的第一宇宙速度；（3）该星球的质量M。【答案】（1）（2）=（3）【名师点睛】本题是万有引力与平抛运动的综合，要抓住平抛运动的加速度就等于重力加速度，能熟练运用运动的分解法处理平抛运动，根据万有引力等于重力求天体的质量。4．某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h处平抛一物体，射程为60m，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，求：（1）该星球表面的重力加速度g是多少？（2）射程应为多少？【答案】（1）（2）【解析】（1）根据得，g=因为星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，则则星球表面的重力加速度（2）根据h=得，t=知平抛运动的时间之比13\n根据x=v0t知，水平射程之比所以【名师点睛】本题考查了万有引力理论与平抛运动的综合，掌握万有引力等于重力这一理论，并能灵活运用。5．2022年6月20日上午，王亚平在“天宫一号”中进行了中国载人航天史上的首次太空授课，如图1所示。王亚平在失重环境下讲授并展示了弹簧秤实验、单摆实验、陀螺实验、水球实验等。为了简化问题便于研究，将“天宫一号”绕地球的运动视为匀速圆周运动（示意图如图2所示）。已知这次太空授课的时间为t，“天宫一号”距离地面的高度为h，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G。（1）求在太空授课的过程中“天宫一号”绕地球运行的线速度大小；（2）求在这次太空授课的时间t内“天宫一号”与地心连线所转过的角度；（3）在太空失重的环境中，可以做很多有趣的实验，请你写出其中一个实验的实验目的，并简述实验方案。【答案】（1）v=（2）θ=（3）实验：测物体的质量：实验方案：利用力传感器测出物体受到的合外力F，由加速度传感大测出物体运动的加速度a，根据牛顿第二定律可得：m=（3）实验：测物体的质量：实验方案：利用力传感器测出物体受到的合外力F13\n，由加速度传感大测出物体运动的加速度a，根据牛顿第二定律可得：m=【名师点睛评】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力，分别求出速度，角速度表达式并能灵活运用。6．某星球的半径为R，在该星球表面某一倾角为θ的山坡上以初速度平抛一物体，经过时间t该物体落到山坡上。求（1）该星球表面的重力加速度；（2）该星球的第一宇宙速度。【答案】（1）g=（2）【解析】（1）设该星球表面处的重力加速度为g，物体做平抛运动落在斜面上有由以上联立解得g=（2）对于绕该星球做匀速圆周运动的“近地卫星”，由万有引力提供向心力得又因为是“近地卫星”，所以有联立以上解得：7．“嫦娥一号”探月卫星的成功发射，实现了中华民族千年奔月的梦想；假若我国的航天员登上某一星球并在该星球表面上做了如下所示的力学实验：让质量为m=1.0kg的小滑块以v0=1m13\n/s的初速度从倾角为53°的斜面AB的顶点A滑下，到达B点后恰好能沿倾角为37°的斜面到达C点。不计滑过B点时的机械能损失，滑块与斜面间的动摩擦因数均为μ=0.5，测得A、C两点离B点所在水平面的高度分别为h1=1.2m，h2=0.5m。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计该星球的自转以及其他星球对它的作用。（1）求该星球表面的重力加速度g；（2）若测得该星球的半径为R=6×106m，宇航员要在该星球上发射一颗探测器绕其做匀速圆周运动，则探测器运行的最大速度为多大？【答案】（1）g=6m/s2（2）【名师点睛】万有引力应用主要从万有引力提供圆周运动的向心力和星球表面重力和万有引力相等两方面入手分析。8．如图所示，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动，地球的轨道半径为R，运转周期为T，地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所夹的角角地球对该行星的观察视角（简称视角）。已知该行星的最大视角为，当行星处于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时期，若某时刻该行星正处于最佳观察期，问该行星下一次处于最佳观察期至少经历多次时间？13\n【答案】或【解析】由题意可得行星的轨道半径设行星绕太阳的转动周期为T′由开普勒第三定律有：设行星最初处于最佳观察时期前，其位置超前于地球，且经时间t地球转过α角后，该行星再次处于最佳观察期，则行星转过的较大为于是有：解得：若行星最初处于最佳观察期时，期位置滞后于地球，同理可得：【名师点睛】根据题意知道当行星处于最大视角处时，地球和行星的连线应与行星轨道相切，运用几何关系求解问题。地球与某行星围绕太阳做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律及角速度公式列出等式，表示出周期，然后去进行求解。9．在半径R=5000km的某星球表面，宇航员做了如下实验，实验装置如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由轨道AB和圆弧轨道BC组成，将质量m=0.2kg的小球从轨道AB上高H处的某点静止滑下，用力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出相应F的大小，F随H的变化如图乙所示。求：13\n（1）圆轨道的半径；（2）该星球的第一宇宙速度。【答案】（1）r=0.2m（2）（2）对该行星表面的附近的卫星有：解得：【名师点睛】在使用动能定理分析多过程问题时非常方便，关键是对物体受力做功情况以及过程的始末状态非常清楚。10．天文工作者测得某行星的半径为R1。它有一颗绕其做圆周运动卫星，卫星轨道半径为R2，卫星运行周期为T。已知万有引力常量为G。（1）求该颗卫星加速度；（2）求该行星的平均密度；（3）要在该星球上发射一颗靠近表面运行的人造卫星，此卫星的速度为多大？13\n【答案】（1）a=（2）ρ=（3）v=（3）靠近行星表面运行的人造卫星的轨道半径近似等于行星的半径R1。由万有引力提供向心力，得G=m联立解得：v=【名师点睛】解决本题的关键掌握卫星绕行星运行时，由万有引力提供向心力，运用万有引力定律和圆周运动的规律结合解答。11．假设某星球表面上有一倾角为的固定斜面，一质量为m=2.0kg的小物块从斜面底端以速度12m/s沿斜面向上运动，小物块运动2.0s时速度恰好为零。已知小物块和斜面间的动摩擦因数，该星球半径为R=4.8×103km。（sin37°=0.6，cos37°=0.8），试求：（1）该星球表面上的重力加速度g的大小；（2）该星球的第一宇宙速度。【答案】（1）（2）13\n【解析】（1）对物体受力分析，由牛二律可得：根据是速度时间关系公式，有：代入数据求得（2）第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据重力等于万有引力，有：解得：【名师点睛】本题考查了牛顿第二定律与万有引力理论的综合运用，掌握万有引力定律的两个重要理论：万有引力等于重力；万有引力提供向心力，并能灵活运用。12．天体A和B组成双星系统，围绕两球心连线上的某点做匀速圆周运动的周期均为T。天体A、B的半径之比为，两天体球心之间的距离为R，且R远大于两天体的半径。忽略天体的自转，天体A、B表面重力加速度之比为，引力常量为G，求A天体的质量。【答案】【解析】记A、B两天体的质量分别为M1、M2，半径分别为2r和r围绕两球心连线上的某点做匀速圆周运动的轨道半径分别为R1、R2又在天体A、B表面重力加速度分别为4g、g，则：联立得【名师点睛】本题是双星问题，与卫星绕地球运动模型不同，两颗星都绕同一圆心做匀速圆周运动，关键抓住条件：相同的角速度和周期。13．有一探测卫星在地球赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，已知地球质量为M，地球半径为R，万有引力常量为G，探测卫星绕地球运动的周期为T。求：13\n（1）探测卫星绕地球做匀速圆周运动时离地面的高度；（2）探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小；（3）在距地球表面高度恰好等于地球半径时，探测卫星上的观测仪器某一时刻能观测到的地球表面赤道的最大弧长。（此探测器观测不受日照影响，不考虑大气对光的折射）【答案】（1）h=–R（2）v=（3）LBC=（2）设卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小为v，则有：v=（3）设宇宙飞船在地球赤道上方A点处，距离地球中心为2R，飞船上的观测仪器能观测到地球赤道上的B点和C点，能观测到赤道上的弧长是LBCcosα=得：α=60°能观测到地球表面赤道的最大长度LBC=14．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，引力常量为G，试求：（1）若实验观测得到星体的半径为R，求星体表面的重力加速度；（2）求星体做匀速圆周运动的周期。【答案】（1）（2）【解析】（1）由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径13\n，（2）星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：解得周期【名师点睛】此题是万有引力定律的应用问题；关键是知道行星做圆周运的向心力由万有引力的合力来提供，根据牛顿第二定律列得方程即可求解未知量。15．一宇航员在某星球的表面做自由落体实验：让小球在离地面h高处自由下落，他测出经时间t小球落地，又已知该星球的半径为R，忽略一切阻力。求：（1）该星球的质量M；（2）该星球的第一宇宙速度v。【答案】（1）（2）（2）第一宇宙速度是近地卫星做圆周运动的运行速度在星球近表面物体所受万有引力等于物体所受重力，根据重力提供卫星的向心力，13\n【名师点睛】该题是万有引力定律的一般应用，先利用自由落体运动的规律求出该星球表面的重力加速度，再写出星球表面物体所受万有引力等于物体所受重力的表达式，即可求解。16．宇航员在一星球表面上的某高处沿水平方向抛一个小球，经时间t，小球落到星球表面，测出抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点到落地点间的距离为L，已知两落地点在同一水平面上，该星球的质量为M，万有引力常量为G，求：（1）该星球的半径R；（2）该星球上的第一宇宙速度。【答案】（1）R=（2）v=【解析】（1）设第一次抛出速度为v、高度为h，根据题意可得图：L2=h2+(vt)2依图可得：又h=解方程组得g=根据万有引力等于重力得，mg=解得R=（2）根据mg=解得第一宇宙速度v=13
