课时7共点力作用下物体的平衡\n►基础梳理◄1．共点力：作用于物体上同一点的力，或力的作用线相交于一点的力叫做共点力．2．平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动状态叫做平衡状态．物体的加速度和速度都为零的状态叫做静止状态．物体的加速度为零，而速度不为零、且保持不变的状态是匀速直线运动状态．\n3．共点力作用下物体平衡的运动学特征是加速度为零，动力学特征是合外力为零．4．共点力作用下物体的平衡条件：物体受到的合力为零．\n►疑难详析◄共点力平衡的一些推论1．若物体只受二个力的作用而处于平衡，则两个力大小相等、方向相反、在同一直线上．2．物体在三个力的作用下处于平衡状态：(1)一个物体如果在三个不平行的力作用下处于平衡状态，则这三个力必定共点共面，简称为不平行必共点，合力为零．(2)任两个力的合力与第三个力的大小相等，方向相反．(3)三个非平行力的矢量图必组成一个封闭的矢量三角形．\n3．物体在四个或四个以上的力作用下的平衡，根据平衡条件，一个物体受n个力平衡可看作是任意一个力和其余(n－1)个力的合力应满足二力平衡条件，即任意一个力和其余(n－1)个力的合力大小相等、方向相反、作用在同一直线上．\n►深化拓展◄“静止”满足两个条件，加速度和速度都为零，缺一不可．要注意“保持”某状态与“瞬时”某状态有区别．例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬时的速度为零，但这一状态不可能保持，因而上抛物体在最高点不能称为静止．也就是说，保持静止与速度为零不是一回事．\n►基础梳理◄解决物体的平衡问题遵循的基本规律则是共点力作用下物体的平衡条件：F合＝0.►疑难详析◄求解平衡问题的一般解题步骤1．选取研究对象根据题目要求，选取某物体(整体或局部)作为研究对象，在平衡问题中，研究对象常有三种情况：\n(1)单个物体．若是有关共点力平衡的问题，可以将物体受到的各个力的作用点全都画到物体的几何中心上；否则各个力的作用点不能随便移动，应画在实际作用位置上．(2)多个物体(系统)．在分析外力对系统的作用时，用整体法；在分析系统内各物体间的相互作用时，用隔离法，其关键是找物体之间的联系，相互作用力是它们相互联系的纽带．(3)几个物体的结点．几根绳、绳和棒之间的结点常常是平衡问题的研究对象．\n2．分析研究对象的受力情况，并作出受力图(1)确定物体受到哪些力的作用，不能添力，也不能漏力．受力分析通常按重力、弹力、摩擦力等力的顺序来分析．(2)准确画出受力示意图，力的示意图关键是力的方向的确定，要培养准确画图的习惯．3．选取研究方法——合成法或分解法在解题中采用合成法还是分解法应视问题而定，通常利用正交分解法求解平衡问题较为常见．\n4．利用平衡条件建立方程并求解利用合成法分析问题时，其平衡方程为：F合＝0.利用分解法特别是正交分解法分析平衡问题时，其平衡方程为：Fx＝0，Fy＝0.\n►深化拓展◄求解平衡问题的常用规律1．相似三角形法：通过力三角形与几何三角形相似求未知力．对解斜三角形的情况更显优越性．2．矢量图解法：当物体所受的力变化时，根据物体的受力特点进行受力分析，画出平行四边形或三角形，注意明确各个力的变化量和不变量，结合数学规律对比分析，使动态问题静态化、抽象问题形象化，问题将变得易于分析处理．\n3．拉密原理：三个共点力平衡时，每个力与另外两个力夹角的正弦之比均相等，这个结论叫拉密原理．表达式为：F1/sinα＝F2/sinβ＝F3/sinγ.4．三力汇交原理：物体在同一个平面内三个力作用下处于平衡状态时，若这三个力不平行，则这三个力必共点，这就是三力汇交原理．5．矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接恰好构成一个封闭的三角形，即这三个力的合力必为零，由此求得未知力．\n题型一 隔离法和整体法的应用\n图1[例1]有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑．AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳相连，并在某一位置平衡，如图1所示，现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆与P环的支持力FN和细绳上的拉力F的变化情况是()\nA．FN不变，F变大B．FN不变，F变小C．FN变大，F变大D．FN变大，F变小[解析]法1：设PQ与OA的夹角为α，则对P有mg＋Fsinα＝FN，对Q有Fsinα＝mg，所以FN＝2mg，F＝.正确选项为B.法2：将P、Q两环看作一个整体，在竖直方向上两环只受重力和OA杆对P环的支持力FN，所以FN＝2mg，即FN不变．以Q环为研究对象，绳的拉力的竖直分力等于Q环的重力，即Fsinα＝mg，所以F越来越小．[答案]B\n题后反思：在解决物体之间的相互作用时，常常采用隔离法和整体法，若不涉及物体之间的作用可用整体法，若要求物体之间的相互作用，需要用隔离法.\n图2在粗糙水平面上有一个三角形木块ABC，在它的两个粗糙斜面上分别放两块质量为m1和m2的木块，m1>m2，如图2所示，已知三角形木块和两物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块()\nA．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右B．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左C．有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因为m1、m2、θ1、θ2的数值并未给出D．以上结论都不对\n解析：因为三角形木块和两物体都是静止的，都是平衡状态，所以合外力必定为零．方法1：以三角形木块和两物体组成的系统为研究对象．因为整体静止，所以整体受重力和地面支持力的作用，水平地面虽然粗糙，但并不提供摩擦力的作用．本题答案是D.方法2：隔离m1，以m1为研究对象进行受力分析．图3\n如图3所示，m1静止在斜面上，受重力mg、斜面的支持力N和斜面的摩擦力f，三力平衡．由平衡条件同样理解，斜面对m1的作用力大小为mg，方向竖直向上，根据牛顿第三定律，m1对斜面的作用力方向竖直向下，没有使斜面体运动的趋势；同理可理解，m2对斜面体的作用力也是竖直向下，所以斜面体水平方向没有运动的趋势，不会受到地面的摩擦力．答案：D\n题型二 共点力作用下的动态平衡问题图4[例2]如图4所示，把球夹在竖直墙面AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为FN1，球对板的压力为FN2，在将板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法中，正确的是()\nA．FN1和FN2都增大B．FN1和FN2都减小C．FN1增大，FN2减小D．FN1减小，FN2增大[解析]此为一动态平衡问题，受力情况虽有变化，但球始终图5\n处于平衡状态．对球受力分析如图5所示，受重力G、墙对球的支持力FN1′和板对球的支持力FN2′而平衡．做出FN1′和FN2′的合力F，它与G等大反向．当板BC逐渐放至水平的过程中，FN1′的方向不变，大小逐渐减小，FN2′的方向发生变化，大小也逐渐减小，如图8所示，由牛顿第三定律可知：FN1＝FN1′，FN2＝FN2′，故答案B正确．[答案]B\n题后反思：用图解法分析力的动态变化，具有直观、便于比较的特点，它一般适用于研究对象受三个力作用的情况，且其中一个力大小、方向不变，另一个力方向不变，第三个力大小、方向均变化.应用时应注意以下几点：(1)明确要分解大小、方向均不变的力，把它分解到另外两个力的反方向上.(2)明确哪个力的方向是不变的.(3)明确哪个力大小、方向变化，变化的范围如何.\n半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，系于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将绳OB的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直C处，如图6甲所示，分析绳OA和绳OB所受力的大小如何变化？图6\n解析：用图解法求解．由于绳受重物的拉力F才使绳OA和OB受到拉力，因此将拉力F分解为FA和FB，如图6乙所示．绳OA固定，则FA的方向不变，在绳OB向上靠近C的过程中，在B1、B2、B3的三个位置，两绳受的力分别为FA1和FB1、FA2和FB2、FA3和FB3.从图乙可看出FA是一直减小的，而FB则是先变小后变大，当绳OB垂直于绳OA时，FB最小．答案：一直减小 先变小后变大\n题型三 共点力平衡中的临界和极值问题[例3]跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如图7甲所示．已知物体A的质量为m，物体A与斜面的动摩擦因数为μ(μ<tanθ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量的取值范围(按最大静摩擦力等于滑动摩擦力处理)．图7\n[解析]先选物体B为研究对象，它受到重力mBg和拉力FT的作用，根据平衡条件有：FT＝mBg①再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力FN、轻绳拉力FT和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图7乙所示，根据平衡条件有：FN－mgcosθ＝0②FT－Ffm－mgsinθ＝0③由摩擦力公式知：Ffm＝μFN④\n联立①②③④四式解得mB＝m(sinθ＋μcosθ)．再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：FN－mgcosθ＝0⑤FT＋Ffm－mgsinθ＝0⑥由摩擦力公式知：Ffm＝μFN⑦联立①⑤⑥⑦四式解得mB＝m(sinθ－μcosθ)．综上所述，物体B的质量的取值范围是：m(sinθ－μcosθ)≤mB≤m(sinθ＋μcosθ)．[答案]m(sinθ－μcosθ)≤mB≤m(sinθ＋μcosθ)\n题后反思：解决临界问题，必须在变化中去寻找临界条件，即不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要研究变化的过程、变化的物理量，寻找临界条件.\n图8应用3—1如图8所示，将重为G的物体A放在倾角为30°的斜面上，A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.1，那么对A施加一个多大的水平力F，可使A物体保持静止？(设A所受最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等)．\n解析：当物体A有沿斜面向上的运动趋势时，其受力如图9甲所示．图9\n沿斜面、垂直斜面建立坐标系：对图甲，由平衡条件得：在x轴上：Fcosα＝Gsinα＋Ff①在y轴上：FN＝Fsinα＋Gcosα②且摩擦力Ff＝μFN③由以上三式得：F＝＝0.72G当物体A有沿斜面向下的运动趋势时，其受力如图乙所示．\n在x轴上：Fcosα＋Ff＝Gsinα④在y轴上：FN＝Gcosα＋Fsinα⑤且摩擦力Ff＝μFN⑥由④⑤⑥得作用力F＝＝0.45G考虑两个结果可知，水平力F的取值范围为0.45G≤F≤0.72G.答案：0.45G≤F≤0.72G\n图101.(2008.海南高考)如图10，质量为M的楔形物块静置在水平地面上，其斜面的倾角为θ.斜面上有一质量为m的小物块，小物块与斜面之间存在摩擦，用恒力F沿斜面向上拉小物块，使之匀速上滑．在小物块运动的过程中，楔形物块始终保持静止．地面对楔形物块的支持力为()\nA．(M＋m)gB．(M＋m)g－FC．(M＋m)g＋FsinθD．(M＋m)g－Fsinθ解析：m匀速上滑，M静止，均为平衡态，将m、M作为系统，在竖直方向有Mg＋mg＝N＋Fsinθ得N＝(Mg＋mg)－Fsinθ，即D正确，ABC错误．答案：D\n图112．木块A、B分别重50N和60N，它们与水平地面之间的动摩擦因数均为0.25.夹在A、B之间的轻弹簧被压缩了2cm，弹簧的劲度系数为400N/m.系统置于水平地面上静止不动．现用F＝1N的水平拉力作用在木块B上，如图11所示，力F作用后()\nA．木块A所受摩擦力大小是12.5NB．木块A所受摩擦力大小是11.5NC．木块B所受摩擦力大小是9ND．木块B所受摩擦力大小是7N解析：物体B受弹簧水平向右的弹力T＝kx＝400×0.02N＝8N，水平向右的外力F＝1N．即水平向右的合力为T＋F＝9N．而地面对B的滑动摩擦力为f＝μN＝0.25×60N＝15N，所以B静止不动，应受力平衡．所以B受到水平向左的静摩擦力f＝8N＋1N＝9N，A受的静摩擦力水平向右，大小为8N．所以C项正确．答案：C\n3.(2008.江苏高考)一质量为M的探空气球在匀速下降，若气球所受浮力F始终保持不变，气球在运动过程中所受阻力仅与速率有关，重力加速度为g，现欲使该气球以同样速率匀速上升，则需从气球吊篮中减少的质量为()图12\n答案：A\n图134.(2009.山东高考)如图13所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心．一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点．设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ.下列关系正确的是()\n图14\n解析：本题主要考查受力分析和共点力平衡，意在考查考生受力分析和运用数学知识处理物理问题的能力．物体受力情况如图14所示，由物体的平衡条件可得FNsinθ＝mg，FNcosθ＝F，联立解得FN＝mg/sinθ，F＝mg/tanθ，故只有A正确．答案：A\n图155．如图15所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ.质量为m的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求地面对三棱柱的支持力和摩擦力各为多少？\n解析：选取B为研究对象，它受到重力mg、三棱柱对它的支持力FNB、墙壁对它的弹力F的作用(如图16甲所示)而处于平衡状态，根据平衡条件有：图16\n竖直方向上：FNBcosθ＝mg水平方向上：FNB·sinθ＝F解得F＝mgtanθ再以A和B整体为研究对象，它受到重力(M＋m)g、地面支持力FN、墙壁的弹力F和地面的摩擦力Ff的作用(如图乙所示)而处于平衡状态．根据平衡条件有：FN－(M＋m)g＝0F＝Ff可得：FN＝(M＋m)g，Ff＝F＝mgtanθ.答案：(M＋m)gmgtanθ\n励志名言形成天才的决定因素应该是勤奋\n安全小贴上课间活动注意安全
