§5.5波动的基本特征平面简谐波的波函数(Thebasiccharacterofwavemotionandwavefunctionofsimpleharmonicplanewave)5.5.1波的产生与传播5.5.2波动的几何描述5.5.3描述波动的物理量5.5.4平面简谐波的波函数(1),5.5.1波的产生与传播(Theformandpropagationofwave)1.机械波的产生与传播机械波产生与传播的条件:波源(sourceofwaves)媒质(medium)(2)所谓波动就是振动在空间的传播,波传播到的空间称为波场(wavefield),波场中任意点的物理状态随时间作周期性的变化。弹性媒质中，机械振动由近及远地传播出去，形成机械波。,横波质点振动方向波的传播方向(仅在固体中)注意波的传播是振动状态或相位、能量(而不是质点)的迁移横波与纵波(transverseandlongitudinalwaves)(3)纵波质点振动方向//波的传播方向（固液气中）,1.波面(wavesurface)和波前(wavefront):在波场中某一时刻,振动相位相同的点形成的曲面称为波面,最前面的波面称为波前(也叫波阵面)。2.波线(waveline):波的传播方向称为波射线,简称波线。各向同性均匀媒质中波线总是垂直于波面5.5.2波动的几何描述(Geometricaldescriptionofwavemotion)(4)平面波波线球面波柱面波波面波线波面波线波面,1.波长(wavelength):同一波线上相位差为2的两点之间的距离。2.周期T:波传播一个波长距离所需的时间或一个完整波通过波线上某一点所用时间(5)5.5.3描述波动的物理量(Thephysicalquantumofdescribingwavemotion)3.频率:单位时间内波所传播距离中所含完整波的数目或单位时间内通过波线上某一点完整波的数目,4.波的传播速度(velocityofwave):u波速:振动状态在空间中传播速度或相速(phasevelocity)机械波的波速决定于媒质特性:惯性:弹性:弹性模量(线变,切变等)线变模量(又叫杨氏模量)(Y)(6)l/l:线应变F/S:应力固体中纵波的波速:胡克定律lDlSFFOxy,2)波速u与振动速度dy/dt的区别。3)波速u仅与媒质的性质有关,而与波源无关。4)频率与波源的性质有关,而与媒质无关。5)波长=u/与波源和媒质有关。注意(7)1)波长反映了波的空间周期性。周期表征了波的时间周期性。,(8)5.5.4平面简谐波的波函数(重点)(Thewavefunctionofsimpleharmonicplanewave)1.平面简谐波的波函数空间中任意点的位移随时间的变化称为波函数。其数学函数为波线波线简谐振动在空间的传播所形成的波，称为简谐波(simpleharmonicwave)。波面为平面的简谐波称为平面简谐波。(2)平面简谐波各处振幅相同。说明(1)复杂的波可分解为一系列简谐波；,uP(x)(1)沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数:y—波射线上某质元离开平衡位置的位移设己知O点振动方程P点振动方程:(9)xyO约定:O点振动状态传到P点,需时间:波函数或波动表达式,或角波数(angularwavenumber)角波数的意义:1)2长度内所含完整波长的数目;2)相间单位长度的二个质元的相位差。或(10)波函数中,和–kx+的物理意义?时间周期性的量空间周期性的量每经过一个周期T,波就向前推进一个波长。形象地说:波动是许多质元以一定的相位关系进行的集体振动。,(2)沿x轴负方向传播平面简谐波的波函数:设己知O点振动方程P(x)u(11)xyO或或P点振动方程:P点振动状态比O点超前时间：波函数或波动表达式,波函数给出x=x0位置的质元振动方程,即y=y(x0,t)(2)当t=t0取一定值时,已知任意点x0的振动方程y=Acos(t+),波函数为波函数给出波线上任意x处质元在t=t0时刻的位移,即y=y(x,t0)波形方程,可绘出波形图(y-x图)。2.讨论波函数的意义:(1)当x=x0取一确定的值时,(12)y-AOAxt=t0(3)更一般的平面简谐波的波函数,(3)x,t均为变量时波函数给出波线上任一质元在任一时刻的位移。x-AOAxtyt时刻x处相位:t+t时刻x+x处相位:说明经历t某相位从x处传到x+x处。可见振动状态(相位)沿波线在向前传播,所以称为行波(travelingwave)(13)t+t,1.己知波函数1)求:A、、、u;2)画任一时刻波形图;3)画任一质元振动图。2.己知某时刻波形图1)能写出波函数;2)画出另一时刻波形图。3.己知某质元振动图1)可写出该质元振动方程;2)写出波函数。(14)xabxa4.求相位差熟练掌握,(15)例1:己知x=1m处质元的振动方程:y=Acos(t+/2)波速为u,求:沿x轴正(负)方向传播的波的波函数?解:用相位传播和相位差概念写出任意质元的振动方程yxO1PuP点比x=1m点的相位落后(x－1)/u,即1－P=(x－1)/u2)波沿x轴负方向传播yxO1PP点比x=1m点的相位超前(x－1)/uu波源在什么位置?若波源在x=1m处,如何?1)沿x轴正方向传播的波1P,例2:一根很长的弦线中传播的横波,波函数为:y=6.0cos(0.02x+4t)式中x,y单位:cmt单位:s求1)A,,,u;2)t=4.2s时各波峰位置的坐标,计算此时离原点最近一个波峰的位置,该波峰何时通过原点?3)写出质元振动速度表达式;4)t=2s时的波形图。解:1)与y=Acos(t+2x/)比较,得(16)A=6.0[cm],2/=0.02=100[cm]=/2=2[Hz]u==200[cm/s]2)t=4.2s时各波峰位置由位移y=6.0cm决定,即0.02x+4×4.2=2kx=100k－840k=0,±1,±2,…k=8时,x=－40[cm]离原点最近。设此波峰在t'时通过原点,即0.02×0+4t'=2×8t'=4[s]y-40O6.0xt=4.2sut,3)位于x处的质元的振动速度为4)t=2s时(17)yxOA-At=2sx=/4:y=0x=0:y=6cmyxOA-AyO或用旋转矢量法:=0由y=6.0cos(0.02x),例3:一列波,=500Hz,u=350m/s求1)同一时刻相位差为/2的二个质元最近距离;2)同一质元相间10-3s的二个位移的相位差是多少?2)(18)解:1),例4:平面简谐波沿x轴负向传播,图为t=0时的波形图己知u=12m/s,求1)A,,T;2)波函数;3)t=1/60s波形图解:1)A=5[cm]2)y(19)x=0的振动方程:波函数:uOy(cm)x(cm)52.56.6746.67,(20)3)t=1/60s时波形图:x(cm)Oy(cm)5-5uyt=0t=1/60s-2.5或利用行波的概念,波形曲线向左移动的距离为x=ut=20cm,例5:一简谐波沿x轴正向传播,T=4s,=4m,x=0处质元振动曲线如右图,求:(1)写出x=0处质元振动方程(2)写出波动表达式(3)画出t=1s时刻波形图Ot(s)y(10-2m)4y解:(1)(2)(3)t=1s时方程(21)y(10-2m)x(m)u,§5.6波的能量(energyofwave)目的:讨论波是如何传播能量的?5.6.1波的能量传播特征5.6.2波的能流与能流密度(22),uOx棒上取小质元ab:长dx(小质元的自然长度)某时刻t,a离开其平衡位置x处的位移:yb离开其平衡位置x+dx处的位移:y+dyab质元的伸长量:dy;ab质元的线应变:y/x1.波的能量(waveenergy)以平面简谐纵波为例细棒:截面:S质量密度:纵波沿棒长度方向传播(23)uOxaxbx+dxyy+dy5.6.1波的能量传播特征(Thetransmittingcharacterofwaveenergy),(1)(2)(3)由(1)得:由(2)得:由(3)得:(24)因质元ab很小,ab上各点振动速度视为相等(设为v)ab质元中能量:,代入上式得:(25)注意:质元的势能由质元的线应变决定,1)波动过程中,质元中的动能与势能总是“相等且同相”,即同时达到最大,又同时达到最小。定量分析:速度最大时:质点过平衡位置时动能最大!此时的线应变(决定势能):也最大!同理可证:质元动能最小时,势能也最小。注意(26),2)质元中的机械能(是否守恒?)每个质元不断地从前方吸收能量,向后方放出能量,随波形的传播伴随着能量传播。质元中的能量随时间周期性变化;注意:波动中质元的动能和势能的这种关系不同于孤立的振动系统。(27)这些点处质元的线应变最大(波形曲线斜率最大)这些点处质元的线应变最小(波形曲线斜率最小),2.波的能量密度(energydensityofwave)波的能量密度:波场中单位体积内的能量平均能量密度:弹性波均成立(28),(29)5.6.2波的能流与能流密度(Theenergyflowandenergyflowdensityofwave)uxS(u与S垂直)平均能流:能流在一个周期内平均值波的能流P:单位时间内通过媒质中某面积(S)的能量称为通过该面积的能流。1.波的能流与平均能流(energyflowandaverageenergyflowofwave),2.波的能流密度与平均能流密度(energyflowdensityandaverageenergyflowdensityofwave)能流密度:通过垂直于波动传播方向单位面积的能流平均能流密度或波的强度(waveintensity)I定义:能流密度在一个周期内的平均值(30)各类波都适用(如机械波,电磁波等)波的强度为通过垂直波动传播方向单位面积的功率单位:W/m²,例6:试证明在均匀无吸收的媒质中传播,球面波的振幅满足:A1r1=A2r2;其中A1表示离波源的距离为r1处的振幅,A2表示离波源的距离为r2处的振幅。OS1S2r1r2波面波线证:由能量守恒,可知在一个周期内通过S1和S2面的能量相等。设I1为r1处的平均能流密度,I2为r2处的平均能流密度,则I1S1T=I2S2T(31)说明:均匀无吸收媒质中,平面波振幅满足:A1=A2设r1=1m时，振幅为A1,则球面简谐波的波函数为,§5.7波的叠加(superpositionofwaves)(32)5.7.1惠更斯原理5.7.2波的叠加原理5.7.3波的干涉5.7.4驻波5.7.5半波损失,(33)5.7.1惠更斯原理(Huygensprinciple)惠更斯(C.Huygens,1629-1695)荷兰人球面波平面波惠更斯原理:波的传播过程中,波阵面(波前)上的每一点都可看作是发射子波的波源,在其后的任一时刻,这些子波的包迹面(即子波的共切面)就成为新的波阵面。t+t波面t+t波面t时刻波面t时刻波面,(34)用惠更斯原理解释波的衍射波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物边缘而传播的现象称为波的衍射(diffractionofwave)。,5.7.2波的叠加原理(superpositionprincipleofwaves)波的独立性:一列波的振幅、频率、波长、振动方向和传播方向,不因其它波的存在而有所改变。波的叠加原理:几列波在传播过程中相遇时,相遇点的振动位移为各波单独引起振动位移的矢量和。波的叠加原理对强度很大的波不适用。注意(35),无振动振动最强振动最强无振动无振动振动最强振动最强5.7.3波的干涉(interferenceofwave)(36),1.干涉现象:两列波在空间相遇处合振动出现稳定的加强或减弱的现象2.相干波源(coherentwavesources):相干波源s1,s2振动方程:(37)3.相长干涉和相消干涉:S1S2Py相干条件频率相同振动方向平行相位差恒定极大极小极大极大极小极小极小,P二列波单独在P点引起的振动分别为:P点合振动:(38)Py,注意1)最大,相长干涉(constructiveinterference)最小,相消干涉(destructiveinterference)如:A1=A2则A=0(39)相位差是波强分布的关键,2)如1=2波程差(wavepathdifference)最大最小(40),例7:s1,s2为均匀无吸收的同一媒质中的二个平面简谐相干波源1=2=100Hz,A1=A2=10cm,波速均为u=20m/s,s1较s2超前/2求:1)两列波在p1点的分振动方程及合振幅;2)两列波在p2点的分振动方程及合振幅。解:=2=200,设:1=/2,2=00.3m•s1•p1•s20.5m0.45m•p2xO1)s1:s2:(41),2)s1:(42)s2:0.3m•s1•p1•s20.5m0.45m•p2xO,1s2s··xO(43)例8:有二个相干波源s1和s2,振幅相等且不随距离变化,频率均为100Hz,相位差为,二者相距30m,波速均为400m/s,求:s1、s2连线之间静止各点的位置?解:设s1、s2之间静止的点为x首先写出s1和s2的波函数:x,Example:Whatisthesmallestradiusrthatresultsinanintensityminimumatthedetector.Solution:Forr=rminwehaveD=p,whichisthesmallestphasedifferenceforadestructiveinterferencetooccur.Thus(44),5.7.4驻波(standingwave)1.何谓驻波两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播彼此相遇叠加而形成的波。电动音叉+-(47)波节(wavenode)波腹(waveloop)右行波左行波演示1演示2,驻波表达式2.驻波分析合成波:(48),驻波的振幅随x作空间周期性变化,但不随时间而变。3.驻波的特征1)驻波各点的振幅特征:波腹坐标:波节坐标:2)驻波各点的相位特征:相邻两节点间的所有质点同相,节点两侧质点反相。(49)yx,3)驻波各点的能量特征:(50)xy当介质中质点的位移最大时,质点的能量都是势能。ABxyAB势能曲线动能曲线当质点到达平衡位置时,质点的能量都是动能。势能集中在波节附近动能集中在波腹附近驻波能量转化,(51)反射面波从波疏进入波密介质反射面波从波密进入波疏介质5.7.5半波损失(half-waveloss)对于机械波,设、u分别为介质的密度和波在介质中传播的速度,u的大小决定是波密还是波疏介质。对于电磁波,设n为介质的折射率,n的大小决定是波密还是波疏介质。,一般言之,当波在两种媒质界面上反射时,设1、2、u1和u2分别为两种媒质的密度和波在两种媒质中传播的速度。若1u1<2u2(从波疏介质进入波密介质),且垂直入射或掠入射时,反射波中产生“半波损失”(half-waveloss),界面出现节点,称为半波反射。若1u1>2u2(从波密介质进入波疏介质),且垂直入射或掠入射时,反射波中无“半波损失”,界面出现腹点,称为全波反射。(52)两端固定拉紧的弦线上的驻波:驻波示意图Ln=1n=2n=3驻波频率:,解:1)入射波的波函数:反射波在反射点c处(有半波损失)的振动方程:(53)例9:如图,一平面余弦波沿x轴正向传播,在x=L处有一无能损的理想反射面,已知入射波坐标原点振动方程为求:1)反射波的波函数；2)合成波的波腹和波节位置。OxLuuc反射波的波函数:,OxLuu(54)2)利用相位差求合振动的极大值与极小值波节位置:波腹位置:,波动基本要求1.理解机械波产生的条件和相位传播的概念;了解波长、波速和波频率的意义、相互关系和决定因素。2.理解波函数及波形曲线的意义,熟练掌握用相位传播的概念写出平面简谐波的波函数。3.理解平面简谐波中质元动能与弹性势能的关系;理解波的能量密度、能流、能流密度及波的强度的概念。4.了解惠更斯原理及其对波的传播方向的说明。5.理解波的叠加原理和相干条件,理解干涉现象;熟练掌握干涉强弱的计算及其分布规律。6.理解驻波特点和形成条件;知道半波损失。(55),机械波波的产生与传播描述波的物理量波动过程的描述波的产生条件:波源、弹性媒质波的分类:按媒质质元振动方向与波传播方向关系分:横波、纵波按波面形状分:平面波、球面波波长:波速:u周期:T,频率:u==/T几何描述解析描述波线、波面、波前(波阵面)波动曲线平面简谐波表达式:(56),波动过程的能量传播机械波波在媒质中的传播规律媒质体积元的总能量:动能和势能:平均能流密度(波的强度):波的干涉相干条件:频率相同、振动方向相同和相位差恒定干涉结果:=2kk=0,±1,±2,…极大=(2k+1)k=0,±1,±2,…极小驻波方程:半波损失惠更斯原理叠加原理多普勒效应(57)
