18.1平行四边形18.1.2平行四边形的判定（第3课时）人教版数学八年级下册
我们探索平行四边形时，常常转化为三角形，利用三角形的全等性质进行研究，今天我们一起来利用平行四边形来探索三角形的某些问题吧！【想一想】如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分呢？导入新知
1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.2.掌握三角形与平行四边形的相互转换，学会基本的添辅助线法.素养目标3.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
1.什么叫三角形的中线？有几条？2.三角形的中线有哪些性质？ABCDEF连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线.①三角形的每一条中线把三角形的面积平分.②三角形的中线相交于同一点.……探究新知知识点1三角形的中位线三角形有3条中线.
ABCDEDE是△ABC的中位线.什么叫三角形的中位线呢？探究新知
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.ABCDE如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线.探究新知
问题1一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ABCDEF有三条，如图，△ABC的中位线是DE，DF，EF.问题2三角形的中位线与中线有什么区别？中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.探究新知
问题3如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？DE两条线段的关系位置关系数量关系分析：DE与BC的关系猜想：DE∥BC？探究新知度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
平行角平行四边形或线段相等一条线段是另一条线段的一半倍长短线分析1：DE猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．问题4如何证明你的猜想？探究新知BCA
分析2：DE互相平分构造平行四边形倍长DE探究新知BCA
延长DE到F，使EF=DE．F∴四边形BCFD是平行四边形.∴△ADE≌△CFE.∴∠ADE=∠F，连接FC．∵∠AED=∠CEF，AE=CE，证法1：AD=CF.∴BDCF.又∵，∴DFBC.∴DE∥BC，.∴CFAD,探究新知证明：BCADE如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边的中点，求证：
证明：DE延长DE到F，使EF=DE．连接AF,CF,DC．∵AE=EC，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形．F∴四边形BCFD是平行四边形.∴CFAD.∴CFBD.又∵，∴DFBC．∴DE∥BC，.探究新知BCA证法2：
ABCDE如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，那么，DE，DF，EF都是△ABC的中位线.FDE∥BC且DE=BC;同理:DF∥AC且DF=AC;EF∥AB且EF=AB.探究新知
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.三角形中位线定理：ABCDE∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC且DE=BC.符号语言：有何作用？（∵AD=BD,AE=CE)这个定理提供了证明线段平行以及线段成倍分关系的根据.探究新知
ABCDEF提示：①中位线DE,EF,DF把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE和BDEF，四边形BFED和CFDE，四边形ADFE和DFCE.②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.探究新知由此你知道怎样分蛋糕了吗?
例1如图，在△ABC中，D,E分别为AC,BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长.解：∵D,E分别为AC,BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3.∴∠1＝∠2.∴AD＝DF＝3.∴AC＝2AD＝2DF＝6.探究新知素养考点1利用中位线定理求线段
三角形各边的长分别为6cm、10cm和12cm，连接各边中点所成三角形的周长是________.ABCDEF6101214cm653巩固练习
如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A，B两点的实际距离？根据是什么？ABC测出MN的长，就可知A，B两点的距离.MN分别找出AC和BC的中点M，N.若MN=36m，则AB=2MN=72m.如果，MN两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？巩固练习
例2如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB,OC，点G,F分别是OB,OC的中点，顺次连接点D,G,F,E.求证：四边形DGFE是平行四边形.ABCGFEDO∴四边形DGFE是平行四边形.证明：探究新知素养考点2利用三角形的中位线判断平行四边形在△ABC中，∵AD=BD,AE=CE,=∴.=∴.=∴.在△OBC中，∵OG=BG,OF=CF,
已知:如图,点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.证明：连接AC.∵E,F是AB,BC边中点,∴EF∥AC且EF＝AC.同理：HG∥AC且HG＝AC.∴EF∥HG且EF＝HG.∴四边形EFGH为平行四边形.EFGHABCD巩固练习
例3如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．解：∵M,N,P分别是AD,BC,BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线.∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC.∵AB=CD，∴PM=PN.∴△PMN是等腰三角形.∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°.素养考点3利用三角形的中位线求角度探究新知∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°.∴∠PMN=(180°−130°)÷2=25°．
ACBDE5cm如图，△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点，∠A=50°,∠B=70°,则∠AED=.60°巩固练习60°如图,MN为△ABC的中位线,若∠ABC=61°,则∠AMN=.61°AMBCN
1.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（ ）A．50°B．40°C．30°D．20°连接中考B
2.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，则四边形EFGH的周长为（ ）A．12B．14C．24D．21连接中考A
1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（ ）A.8B.10C.12D.16D课堂检测基础巩固题
2.如图，点D，E，F分别是△ABC的三边AB，BC，AC的中点.（1）若∠ADF=50°，则∠B=；（2）已知三边AB，BC，AC分别为12，10，8，则△DEF的周长为.50°15ABCDFE课堂检测
3.如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长．解：∵▱ABCD的周长为36，∴BC+CD=18．∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，∴OE=BC.∴△DOE的周长为OD+OE+DE=（BD+BC+CD）=15.课堂检测
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.证明：取AC的中点F，连接BF.∵BD＝AB，∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.∵E为AB的中点，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB.∴CE＝BF.∴CD＝2CE.F课堂检测
如图，E,F,G,H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.证明：如图，连接BD.∵E,F,G,H分别为四边形ABCD四边之中点，∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，∴EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD.∴EH∥FG且EH=FG，∴四边形EFGH为平行四边形.能力提升题课堂检测
G如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．解：取BC边的中点G，连接EG，FG．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线.又BD=12，AC=16，AC⊥BD，∴EG=8，FG=6，EG⊥FG.∴∴EG∥AC,FG∥BD,拓广探索题课堂检测
三角形的中位线三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半三角形的中位线定理三角形的中位线定理的应用课堂小结
课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
