17.2勾股定理的逆定理（第2课时）人教版数学八年级下册,在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧！导入新知,2.进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识.1.应用勾股定理的逆定理解决实际问题.素养目标3.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.,12如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？NEPQR探究新知知识点1利用勾股定理的逆定理解答角度问题【思考】1.认真读题，找已知是什么？“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如下图.,12NEPQR16×1.5=2412×1.5=18303.由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此我们想到利用什么思想？要解决的问题是求出两艘船航向所成角.勾股定理逆定理.探究新知【思考】2.需要解决的问题是什么？转化的思想.4.知道线段长度，通过线段长度来求角的度数，我们可以利用什么转化呢？,解：根据题意得PQ=16×1.5=24(海里),PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.NEPQR12探究新知方法点拨：解决实际问题的步骤：①标注有用信息,明确已知和所求；②构建几何模型(从整体到局部)；③应用数学知识求解.,在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B.接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O(如图所示)向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？巩固练习,解：由题意得，OB＝12×1.5＝18海里，OA＝16×1.5＝24海里，又∵AB＝30海里，∴182＋242＝302，即OB2＋OA2＝AB2，∴∠AOB＝90°.∵∠DOA＝40°，∴∠BOD＝50°.则另一艘舰艇的航行方向是北偏西50°.巩固练习,如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积.解：连接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理得BD2=AB2+AD2，∴BD=5cm.又∵CD=12cm，BC=13cm,∴BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD•CD－AB•AD=×(5×12－3×4)=24(cm2)．CBAD探究新知知识点2利用勾股定理的逆定理解答面积问题,如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm.又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA巩固练习,如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格．知识点3探究新知利用勾股定理的逆定理解答检测问题,一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?DABC4351312DABC图图巩固练习,在△BCD中，∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此，这个零件符合要求.解：在△ABD中，∴△ABD是直角三角形，∠A是直角.DABC4351312图巩固练习AB2+AD2=32+42=25=52=BD2,BD2+BC2=52+122=169=132=CD2,,我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米A连接中考,BB课堂检测基础巩固题1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（ ）DA.B.C.D.,2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m，若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的()A.北偏东75°的方向上B.北偏东65°的方向上C.北偏东55°的方向上D.无法确定B课堂检测,3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：∵出发2小时，A组行了12×2=24(km)，B组行了9×2=18(km)，又∵A，B两组相距30km，且有242+182=302，∴A，B两组行进的方向成直角．课堂检测AOB,4.在城市街路上速度不得超过70千米/时，一辆小汽车某一时刻行驶在路边车速检测仪的北偏东30°距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米.问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽车超速了吗?车速检测仪小汽车30米30°北60°解：小汽车在车速检测仪的南偏东60°方向或北偏西60°方向.25米/秒=90千米/时>70千米/时∴小汽车超速了.2秒后50米40米课堂检测,如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.ADBC341312能力提升题课堂检测,解：连接AC.在Rt△ABC中，在△ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°.∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.课堂检测ADBC341312,如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，在Rt△PBQ中，由勾股定理得课堂检测拓广探索题∴3x+4x+5x=36，解得x=3.PCBAQ,勾股定理的逆定理的应用应用航海问题方法认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题与勾股定理结合解决不规则图形等问题课堂小结,课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
