教学基本信息课题8.3实际问题与二元一次方程组（第一课时）学科数学学段：初中年级初一年级教材书名：义务教育教科书数学七年级下册出版社：人民教育出版社出版日期：2012年10月教学目标及教学重点、难点教学目标：经历借助文字和表格梳理、分析实际问题中的数量关系的过程，能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。教学重难点：明确实际问题中各个量之间的关系，找出实际问题中的未知量，会设未知数，列方程组。教学过程教学环节主要教学活动设置意图引入前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决了一些实际问题，本节课，我们继续探究如何分析实际问题中的数量关系，利用二元一次方程组模型解决实际问题。指出本课的学习主题。新课探究1： 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940kg．饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20kg，每头小牛1天约需饲料7～8kg.你能否通过计算检验他的估计？问题1：面对这个问题，你是怎么想的呢？模拟学生的反应回答下面问题：（1）怎么理解“通过计算检验他的估计”这句话的意思呢？问题15
预设：这句话表示要通过实际背景中的数量关系，计算出每头大牛1天约用饲料量是多少，每头小牛1天约用饲料量是多少？然后用计算的结果与李大叔估计的范围相对照，如果计算结果在李大叔估计的范围内，那么李大叔的估计是较准确的，否则就是不准确的。（2）实际背景中有哪些已知量，哪些未知量，它们之间有怎样的数量关系？预设：已知量：牛的头数，农场1天约用饲料总量；未知量：大牛1天约用饲料量，小牛1天约用饲料量；数量关系：小牛头数×每头小牛约用饲料量＝所有小牛约用饲料量；所有大牛1天约用饲料量＋所有小牛1天约用饲料量＝农场1天约用饲料总量。（3）可以建立怎样的方程呢？根据小牛头数×每头小牛1天约用饲料量＝所有小牛1天约用饲料量，大牛头数×每头大牛1天约用饲料量＝所有大牛1天约用饲料量，设每头大牛和每头小牛1天分别约用饲料xkg、ykg．所有小牛1天约用饲料量＝15y，所有大牛1天约用饲料量＝30x；根据所有大牛吃饲料的量＋所有小牛吃饲料的量＝农场一天约用饲料总量这个关系，可以建立方程30x+15y=675，同理，建立方程42x+20y=940.建立方程组的提出旨在激发学生从不同层面理解这个实际问题。这里不仅包括通过文字描述要理解实际问题的解决相当于是在求解什么数学问题，也包括在数学问题范畴内如何梳理数量及各个量之间的关系。模拟学生的应答，将从实际问题中读出各个量，梳理各个量之间关系的方法呈现出来。直线标注，表格梳理，表格中信息圈注的方法，既是在演示梳理关系的方法，也在呈现分析问题的思维过程。问题25
问题2：实际问题怎么分析呢？教师：在分析实际问题时，首先要分析出问题中涉及的主体对象，比如这个问题中主体对象就是大牛和小牛，然后分析围绕大牛小牛的信息中，哪些是已知量，哪些是未知量，各量之间是什么关系，这些关系可以用来互相表达。比如依据大牛的头数乘以每头大牛1天用饲料量等于所有大牛用的饲料总量这个关系，利用已知量小牛的头数和未知量每头小牛1天用饲料量的乘积表达出了所有大牛用的饲料量。这些关系也可以用来建立方程。比如这里通过所有大牛用饲料量加上所有小牛用饲料量等于养牛场用饲料总量的关系建立了方程。问题3：怎么解这个方程组呢？解出方程组的解为检验这组数是方程组的解，而且具有实际意义。对照李大叔估计的量，因为20在18到20之间，5不在7-8之间，因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较正确，对小牛的食量估计偏多。问题4：可以把其他的未知量设为未知数吗？以设所有大牛和所有小牛1天约用饲料量分别为xkg，ykg为例梳理列方程组的过程.问题5：用一元一次方程来建立模型可以吗？分析建立一元一次方程的过程，建立一元一次方程：设每头大牛1天约用饲料xkg．说明一元一次方程与二元一次方程的异同。相同点：都是反应现实世界数量相等关系的有效的数学模型，建立方程时都要分析清楚问题中的量和各个量之间的关系。不同点：的提出，旨在归纳分析实际问题时的重要关注点，在整理思维过程后，当再次分析实际问题时能够做清晰分析内容，做到有序分析。问题3的提出，旨在回顾方程组的解法，使学生们经历解决实际问题的完整的分析，转化，求解，答题的过程。问题4的提出为了让同学们明白梳理清楚各个量之间的关系，设不同的量为未知数都可以解决问题，但是在表达其他未知量是的难度不同。问题55
从建立这两类模型的过程看，建立二元一次方程组表达数量关系更加直接，从建构模型的难度上来看，列一元一次方程的难度更大一些。所以我们往往面对有两个未知量的问题时，选用建立二元一次方程组模型。通过方程组的解，解答实际问题，要关注检验环节，这里既要检验求得的结果是否是方程组的解，也要检验对于实际问题的背景，这个解是否有实际意义。的提出，旨在帮助学生认识在建立数学模型解决实际问题时，一元一次方程与二元一次方程的异同。它们都是反应现实世界数量相等关系的有效模型，不能因新忘旧，要能择优而用。例题例：机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？生产了多少套？问题1：你是怎样思考这个问题的呢？模拟学生的反应回答下面问题：（1）这个问题的主体研究对象是什么？与之相关的信息中有哪些量？已知量是什么？未知量是什么？这些量之间有怎样的等量关系？生：这是关于生产大齿轮和小齿轮两类产品的问题；已知量：加工齿轮的工人的总数，平均每人每天生产产品的量；未知量：加工大齿轮和加工小齿轮的人数，分别设为x人，y人.这些量之间的关系：生产大齿轮人数＋生产小齿轮的人数＝工人的总人数；每人每天生产产品量×相对应的人数＝生产产品的总量。（2）可以建立怎样的方程呢？建立方程组问题2：怎样解方程组呢？问题1的提出，旨在让学生在不同的实际背景下，体会分析问题的方法和思维过程。问题2的提出，旨在提升学生解方程组的熟练度，经历解决实际问题的全过程。5
解方程组得检验并求出生产产品200套。总结教师小结：本节课我们重点探究了怎样分析实际问题中的量及各个量之间的关系，建立二元一次方程组模型。在分析实际问题时，围绕着主体研究对象，先要明确实际背景中哪些量是已知量，哪些量是未知量，根据已知量和未知之间的关系，选择合适的未知量设为未知数，再根据题目中的数量关系，利用已知量和未知数表达其他的未知量，最后选择某一个数量关系建立二元一次方程，从而构建二元一次方程组模型。在解出数学问题的解之后，要对其进行检验，尤其要对其进行是否符合实际意义的检验，进而解答实际问题。教师小结的内容旨在梳理、强调分析问题、解决实际问题的关键内容和思维流程。作业用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？为学生提供分析实际问题中量及各个量之间关系的练习，以巩固本节课所学。5
