安庆市高中2021-2022学年高一8月测试数学试卷1.已知集合，则集合A的子集个数为A.0B.1C.2D.42.已知扇形的面积为4，扇形圆心角的弧度数为2，则扇形的弧长为A.2B.4C.6D.83.幂函数是偶函数，在上是减函数，则整数m的值为A.0B.1C.0或1D.24.如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，总建筑面积700多平方米塔内供奉观音大士铜铸32应身，玻璃钢彩铸大悲咒出相84尊，有通道拾级而上可登顶层塔名由中国书法协会名誉主席、中国佛教协会顾问、国学大师启功先生题写塔是佛教的工巧明即工艺学，比如建筑学就是工巧明之一，东汉明帝永平年间方始在我国兴建所谓救人一命胜造七级浮屠，这七级浮屠就是指七级佛塔下面是观音塔的示意图，游客视为质点从地面D点看楼顶点A的仰角为，沿直线DB前进51米达到E点，此时看点C点的仰角为，若，则该八角观音塔的高AB约为A.8米B.9米C.40米D.45米5.已知，，则用a，b表示为A.B.C.D.6.设函数则满足的x的取值范围为A.B.C.D.,1.已知中，，，，点E满足，则A.B.6C.D.362.函数的所有的零点之和为A.0B.2C.4D.63.下列不等关系中，不正确的是A.若，则B.C.若，则D.4.筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史如图1，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点水面与筒车右侧的交点，从此处开始计时，下列结论正确的是A.t分钟时，以射线OA为始边，OP为终边的角为B.t分钟时，该盛水筒距水面距离为米C.1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等D.1个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米5.已知x，y是正数，且，下列结论正确的是A.xy的最大值为B.的最小值为C.最大值为D.最小值为96.已知函数，下列结论正确的是A.的最小正周期为B.函数图象关于直线对称C.函数在上单调递增D.方程有无数个解,1.已知向量，，且，则______．2.“角为第一象限角”是“”的______条件从“充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要”中选一个填写3.若不等式有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为______，实数a的取值范围为______．4.设平行于y轴的直线l分别与函数和的图象交于点A，B，若函数的图象上存在点C，使得为等边三角形，则点C的横坐标为______．5.已知集合，．当时，求；：，q：，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．6.已知．当时，求的最小值；当时，若，是方程的两个根，求的值．7.已知函数，从、、这三个条件中选择一个作为已知条件．为的图象的一个对称中心；当时，取得最大值；,．求的解析式；将的图象上的各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数在上的单调递减区间．1.如图，在矩形ABCD中，，E为AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE于点设，．求的余弦值．用和表示；,1.已知函数为常数且为奇函数．求m的值；设函数若函数有零点，求实数a的取值范围．2.已知定义在R上的奇函数，且对定义域内的任意x都有，当时，．判断并证明在上的单调性；若，对任意的，存在，使得成立，求a的取值范围．3.P是内的一点，，则的面积与的面积之比为A.2B.3C.D.64.求值：______．5.已知关于x的不等式的解集为．求实数m，n的值；正实数a，b满足．求的最小值；若恒成立，求实数t的取值范围．,,答案和解析1.【答案】D【解析】解：，对应的子集为，，，，共4个．故选：D．根据条件求出集合A，利用子集的关系即可得到结论．本题主要考查集合子集个数的判断，属基础题．2.【答案】B【解析】解：设扇形的半径为r，扇形的面积为4，扇形圆心角的弧度数为2，则，，即，即，则扇形的弧长，故选：B．根据扇形的弧长公式以及面积公式分别进行计算即可．本题主要考查扇形的弧长的计算，结合扇形的弧长公式，面积公式建立方程是解决本题的关键，是基础题．3.【答案】A【解析】解：幂函数是偶函数，且在上是减函数，所以，，,所以整数m的值可以为0，1；当时，，满足题意；当时，，不满足题意；所以．故选：A．根据幂函数的定义与性质，列不等式求出m的可能取值，再验证是否满足题意即可．本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：不妨设，根据条件可得，，，，，，米．故选：D．不妨设，然后得到，再根据，求出x的值即可．本题考查了解三角形的应用，考查了转化思想，属基础题．5.【答案】B【解析】解：，，，．故选：B．利用指数式和对数式的互化，求出，利用对数的换底公式得，由此能求出结果．本题考查对数式的表示，考查对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由，得：,当，即时，，由，得，；当，即时，，由，得，解得，．满足的x的取值范围为．故选：C．由已知函数解析式分或求得的解析式，再结合可得x的取值范围．本题考查分段函数的应用，考查不等式的解法，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】B【解析】解：由，得，即，则，则，故选：B．根据平面向量的基本定理表示出，根据向量数量积的定义进行求解即可．本题主要考查向量模长的计算，结合平面向量基本定理求出，然后结合向量长度与向量数量积的关系进行转化是解决本题的关键，是中档题．8.【答案】C【解析】解：函数，所以，即，所以函数的图象关于直线对称，当时，和为单调递增函数，则为单调递增函数，则当时，为单调递减函数，又，故函数有两个零点，且两个零点关于对称，所以函数的所有的零点之和为4．故选：C．通过计算发现，从而得到函数的图象关于直线对称，再通过判断函数的单调性以及，得到函数有两个零点，由对称性即可得到答案．,本题考查了函数零点的理解和应用，主要考查了函数图象的对称性、函数单调性的判断与应用，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：对于A：当时，，故A错误；对于B：，，，故B正确；对于C：当，时，无意义，故C错误；对于D：根据指数函数的性质，，故D正确．故选：AC．直接利用不等式的性质，指数函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：不等式的性质，指数函数的性质，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.【答案】ACD【解析】解：如图所示：依题意设，由于一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为米，所以，，当时，，即，解得，所以，,对于A和B：t分钟时，以射线OA为始边，OP为终边的角为，故A正确，B错误，对于C：当时，，当时，，故C正确；对于D：令，即，在一个周期内满足，解得，即有2分钟满足条件，由于1小时有10个周期，所以有20分钟满足条件，故D正确．故选：ACD．首先求出三角函数关系式，进一步利用正弦型函数的关系式的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的确定，正弦型函数的关系式的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：选项A：因为，当且仅当时取等号，此时xy的最大值为，故A正确；选项B：，由选项A可知，所以，即的最小值为，故B正确；选项C：，当且仅当，即，时取等号，又x，y都是正数，故等号不成立，故C错误；选项D：，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9，故D正确；故选：ABD．选项ABC直接利用基本不等式求解即可，选项D，利用1的代换即可求解．本题考查了基本不等式的应用，涉及到1的代换以及基本不等式成立的条件，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：当时，即，即，时，，当时，即，即，时，，,作出函数的图象如图：则由图象函数的周期是，故A错误，函数关于直线对称，故B正确，函数在上单调递增，故C正确，由得，即方程无解，故D错误，故选：BC．根据绝对值的应用，求出函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合进行判断即可．本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合函数性质求出函数解析式，作出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．13.【答案】【解析】解：向量，，且，所以，解得．故答案为：．根据平面向量的共线定理列方程求出m的值．本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题．14.【答案】充分不必要【解析】解：因为，所以，所以，则“角为第一象限角”可以推出“”，满足充分条件，而“”不能推出“角为第一象限角”，不满足必要性，所以“角为第一象限角”是“”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．根据同角三角函数的关系以及三角不等式求出的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．本题主要考查了三角不等式的解法和同角三角函数的关系，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．15.【答案】3 ,【解析】解：不等式，令，则，所以方程有两个不相等的实数根，，因为，所以，，故不等式的解集为，由题意可知，不等式有且只有两个整数解，所以这两个整数解为1和2，则，解得，又，所以，故这两个整数解之和为3；实数a的取值范围为．故答案为：3；．利用一元二次不等式的解法求解不等式，然后判断不等式解集的两个端点的大小并确定之间的整数，然后列出不等关系求解即可．本题考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次不等式与方程根之间关系的应用，解题的关键是掌握一元二次不等式求解步骤，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为平行于y轴的直线l分别与函数和的图象交于点A，B，则设，，又因为函数的图象上存在点C，使得为等边三角形，设，由A、B的坐标可知，，因为为等边三角形，所以，即，可得，或舍，由，则，即，所以代入中，可得，即，所以，又，所以，则，因此点C的横坐标为．故答案为：．根据等边三角形的性质，结合两点间距离公式以及对数的运算性质进行求解即可．本题考查了函数与方程的综合运用，主要考查了对数函数的应用、对数运算性质的运用、两点间距离公式的应用，属于中档题．,17.【答案】解：当时，，或，所以或；由可知，，，因为p：，q：，且q是p的必要条件，所以，当，即时，或，则有，解得；当，即时，或，满足；当，即时，或，满足；综上所述，实数a的取值范围为．【解析】先求出集合A，B，然后利用并集的定义求解即可；由充分条件和必要条件的定义可得，然后根据根的大小关系对集合B分类讨论，由子集的定义列出不等关系求解即可．本题考查了集合并集的运算，充分条件与必要条件的应用，子集定义的理解和应用，涉及了指数不等式以及一元二次不等式的解法，属于中档题．18.【答案】解：当时，，，当且仅当取等号，故当时，的最小值为4．由题意，因为，即，解得，故．当时，．【解析】当时，，再由基本不等式，即可得出答案．由韦达定理可得，，再由，解得m，再计算当时，，即可．本题考查三角函数的性质，函数与方程之间的关系，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：选条件为的图象的一个对称中心，则，可得，，,又，所以，所以选条件当时，取得最大值，则，可得，，又，所以，所以选条件，则，可得，，又，所以，所以将的图象上的各点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，可得的图象，再将得到的图象向右平移个单位，得到的图象，令 ，，求得，，又，所以的单调递减区间为，【解析】根据所选条件以及余弦函数的性质，结合的取值范围即可求解的值，从而可得的解析式；由余弦函数的性质即可求得的单调递减区间．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，三角函数的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．20.【答案】解：建立坐标系如图：，E为AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，，，，则，，，，，．则AF：，DE：，由得，即，则，，则，，，,则，，则即．，，，设，即的，即．【解析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法进行求解即可．根据平面向量基本定理进行计算即可．本题主要考查平面向量的基本定理，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键，是中档题．21.【答案】解：由于为奇函数，则，即，所以，所以，所以，所以，解得舍去或．由知，令，解得，函数的定义域为，所以，令，可得，即，即，所以有解，即在上有解，令，对称轴为，当时，即，所以，即，解得，,所以，当时，即，因为恒成立，故此时或，解得或不成立，故．当时，即，所以，因为不成立，舍去，综上，a的取值范围为．【解析】由于为奇函数，可得，进而解得m．先求出函数的定义域，问题可转化为有根，即在上有解，再结合二次函数的性质，即可得出答案．本题考查函数的性质，函数的零点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：在上单调递减；证明如下：任取，则，因为，所以，，则，即，所以在上单调递减；因为是R奇函数，所以，，因为对定义域内的任意x都有，所以令得，即，因为是R奇函数，，所以即，即是周期为2的周期函数，因为在上单调递减，所以时，，时，，所以在上的值域为，而是周期为2的周期函数，则对任意的，，由对任意的，存在，使得成立，,则存在，使得，令，，则，时，，所以，解得或，即；时，，所以，解得或，即；所以a的取值范围为或．【解析】直接利用函数单调性的定义进行判定即可；先求函数在上的值域，然后根据求出函数的周期，从而可求出函数的值域，进而存在，使得，最后利用换元法求出的最大值，从而可求出a的取值范围．本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的奇偶性、单调性、周期性，同时考查了分类讨论的数学思想和换元法的运用，属于中档题．23.【答案】B【解析】解：取BC中点D，连接AD，则；，如图所示：；；的面积与的面积之比为3．故选B．可取BC的中点为D，并连接AD，从而可得出，这样便可画出图形，进而得出，这样便可根据三角形的面积公式求出，即得出的面积与的面积之比．考查向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，以及向量数乘的几何意义，三角形的面积公式．24.【答案】6【解析】解：．故答案为：6．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．,25.【答案】解：由题意可得和n是方程的两个根，由根与系数的关系可得，解得，．由可得，即，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9．若恒成立，即恒成立，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，即实数t的取值范围是
