保定市重点高中2021—2022学年第一学期高三年级第一次月考理科数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合，，则等于（）A.B.C.D.2.已知集合，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（）A.3个B.4个C.5个D.6个3.“”是“函数在区间上为增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知，是两个命题，若是假命题，那么（）A.是真命题且是假命题B.是真命题且是真命题C.是假命题且是真命题D.是假命题且是假命题5.已知函数则等于（）A.1B.2C.3D.46.设，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.7.定义在上的函数，则（）A.既是奇函数，又是增函数B.既是奇函数，又是减函数C.既是偶函数，又是增函数D.既是偶函数，又是减函数8.函数的图象大致为（）,A.B.C.D.9.已知函数，则（）A.的图象关于点对称B.的图象关于直线对称C.在上单调递减D.在上单调递减，在上单调递增10.已知，当时，，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.11.已知函数若关于的方程有三个不同的实数根，则t的取值范围为（）A.B.C.D.12.已知定义在上的函数，，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在上单调递减，设函数，则对任意，均有（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）,13.设集合，，则的一个充分不必要条件是___________.14.若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________.15.已知是上的减函数，那么的取值范围是___________.16.如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆О的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则下列有关说法中：①函数是圆：的一个太极函数；②函数是圆：的一个太极函数；③函数是圆：的一个太极函数；④函数是圆：的一个太极函数.所有正确的是___________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知集合，集合，集合.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.18.设命题：函数的定义域为；命题：不等式对任意恒成立.（1）如果是真命题，求实数的取值范围；,（2）如果命题“或”为真命题且“且”为假命题，求实数的取值范围.19.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）解关于的不等式.20.设函数，已知的解集为.（1）求b，c的值；（2）若函数在区间上的最小值为-4，求实数a的值.21.某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择.（1）试判断哪个函数模型更适合并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.（参考数据：，）.22.（12分）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.2021—2022学年第一学期高三年级第一次月考理科数学答案及解析,1.D[，，故，所以.]2.D[∵，且中至多有一个偶数，∴可能为，，，，，.]3.A[当时，在上为增函数，故充分性成立；当函数在区间上为增函数时，，故必要性不成立.]4.A[若是假命题，可知与都是假命题，则是真命题且是假命题.]5.B[依题意得，.]6.D[因为，，，所以.]7.A[∵函数的定义域为，且，函数为奇函数，又∵当时，为增函数，∴在上为增函数.]8.A[函数的定义域为，恒成立，排除C，D，当时，，当时，，排除B.]9.A[由，得函数的定义域为，，定义域为，为奇函数且单调递增，∴为向右平移两个单位长度得到，则函数在上单调递增，关于点对称.]10.B[当时，，∵当时，，即需成立；当时，，恒成立；当时，，即需成立；对于函数，在上，在上,，∴解得.]11.A[作出的图象，如图所示，令，当时，与的图象有1个交点，即有1个根，当时，与的图象有2个交点，即有2个根，则关于的方程转化为，由题意得，解得，方程的两根为，因为关于的方程有三个不同的实数根，则解得，满足题意.]12.C[易知为偶函数，关于对称，又在上单调递减，∴在上单调递增，在上单调递减，∴在上单调递增，当时，，当时，.①若恒成立，则，可知关于对称，又与关于对称；与关于对称，∴，；,②若恒成立，则，可知关于轴对称，当时，；当时，，可排除A，B；当，即时，，∴，当，即时，，若，则，可排除D.]13.（或或）解析集合，若，则或或；当时，，当时，有，解得，当时，有，解得，故的一个充分不必要条件定（或或）.14.解析∵函数是幂函数，且其图象过点，∴，且，求得，，可，则函数的单调递增区间为.15.解析因为是上的减函数，所以解得，所以的取值范围为.16.①②③④,解析①两曲线的对称中心均为点，且两曲线交于两点，所以能把圆一分为二，如图，故正确；②函数关于点对称，经过圆的圆心，且两曲线交于两点，如图：所以函数是圆：的一个太极函数，故正确；③函数为奇函数，如图：所以函数是圆：的一个太极函数，故正确；④函数为奇函数，且单调递增，如图，,所以函数是圆：的一个太极函数，故正确.17.解（1）∵，∴或，∴，.于是，，，解得，∴.（2）∵，∴.若，则，即；若，则或解得，综上，实数的取值范围是或.18.解（1）命题是真命题，则恒成立，得即，所以的取值范围为.（2）若命题是真命题，则不等式对一切均成立，设，令，则，，当时，，所以.若命题“”为真命题，“”为假命题，则p，q一真一假.即有或，综上，实数的取值范围为.19.解（1）由题意，得当时，，则，由是定义在上的奇函数，得，且，,综上，（2）①当时，，解得，所以；②当时，显然成立，所以成立；③当时，，解得.综上，不等式的解集为.20.解（1）由的解集为可得的解为，3，则，，则，，此时即为，满足题意.∴，.（2），二次函数在上单调递减，在上单调递增，当，即时，在上单调递减，的最小值为，则，解得，不满足；当，即时，在上先递减后递增，的最小值为，则，解得或-4，由，可得；当，即时，在上单调递增，的最小值为，不满足最小值为-4.综上可知，.21.解（1）函数与在上都是增函数，随着的增加，函数的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型,符合要求.根据题意可知当时，；当时，，所以解得故该函数模型的解析式为，，.（2）当时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，由，得，∴，∵，∴.即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．22.解（1）对于函数的定义域内存在，则无解，故不是“依赖函数”.（2）因为在上单调递增，故，即，，由，故，得，从而在上单调递增，故.（3）①若，故在上的最小值为0此时不存在，舍去；②若，故在上单调递减，从而，解得（舍）或，从而存在.使得对任意的,，有不等式都成立，即恒成立，由，得.由，可得，又在上单调递减，故当时，从而，解得，综上，实数的最大值为.
