试卷类型：A绝密启用前包头市2021—2022学年度第一学期高三年级调研考试试卷文科数学注意事项：1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上。将条形码粘贴在规定区域。本试卷满分150分，考试时间120分钟。2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出四个选项中只有一项是符合题目要求的。）1.已知集合，，则答案：A解析：集合A与集合B的共同元素为2.复数答案：D解析：3.为了强化安全意识，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的两天恰好是间隔1天的概率是答案：C,解析：概率模型为古典概型，为10，为3，则概率为1.若等差数列中，，则答案：B解析：令，则则，则由等差数列的等差中项的性质，则2.已知两非零向量与的夹角为，且，则答案：B解析：由已知得：，则，由向量数量积公式则，带入得3.设等比数列的前项和为，其公比大于，且，则答案：A解析：等比数列通项公式与前项和公式为：由已知得：解得：（舍）则4.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为,答案：B解析：由三视图还原图形如图：1.已知圆与两坐标轴都相切，且到直线的距离为，则圆的直径为答案：C解析：由已知得：圆心的横纵坐标的相等，则设则半径，由点到直线的距离公式得：解得：（舍去），则直径为2.设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的焦距为，则面积的最大值为答案：C解析：双曲线渐近线方程为则设则则，由双曲线性质可知，由基本不等式当且仅当时取“”则,1.设函数，则是偶函数，且在单调递增是奇函数，且在单调递减是奇函数，且在单调递减是偶函数，且在单调递增答案：A解析：的定义域为，由于则为偶函数令则单调递增，单调递减，由复合函数单调性可知在区间单调递增，在区间单调递减2.已知球的表面积为，是顶点都在球的球面上的等边三角形，到平面的距离为，则的面积为答案：D解析：如图：设为的中心，设的边长为，则，由已知得：，由球的性质可知：，由勾股定理得：解得：，由等边三角形则：3.若，则下列结论中正确的有①②③④,个个个个答案：C解析：不等式变形为，则设则在区间单调递增，由得.①则，②为减函数，则，③则，④错误.一、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上对应题的横线上.1.若，则____________答案：解析：2.若满足约束条件，则的最大值为___________答案：2解析：目标函数化简为，作出可行域如图所示：由图象可知在点处目标函数取得最大值3.已知，则___________,答案：4解析：由得：，则1.设有下列四个命题：：空间共点的三条线不一定在同一平面内.：过空间中任意三点有且仅有一个平面.：若三个平面两两相交，则交线互相平行.：若直线平面，直线∥直线，则直线平面.则下述命题中所有真命题的序号是____________①②③④答案：①③④解析：命题正确，命题错误，由命题的真值表可知①③④正确三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17.（12分）在四边形中，∥，.（1）若，求；（2）若，求四边形的面积.答案解析：解：（1）设，在中，根据余弦定理，得..................2分因为∥，所以，在中，根据余弦定理，得，即.........................................................................................................4分解得（舍去），或，所以,.......................................................................................................6分（2）在中，根据余弦定理，得在中，由余弦定理，得.................................................8分因为，由上述两式得因此...............................................................................................10分所以和是两个全等的正三角形所以四边形的面积...................................................................................................12分18.（12分）某学校为了解高三学生的学习成绩变化情况，随机调查了100名学生，得到这些学生一轮复习结束相对于高二期末学习成绩增长率的频数分布表.的分组学生数（1）估计这个学校的高三学生中，学习成绩增长率不低于40%的学生比例；（2）求这个学校的高三学生学习成绩增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.001）附：答案解析：解：（1）根据学生成绩增长率频数分布表得，所调查的100名学生中，学习成绩增长率不低于40%的学生频率为...................................................................................................................................................2分用样本频率分布估计总体分布得这个学校高三学生成绩增长率不低于40%的学生比例为18%......................4分（2）............................7分,.....................................................................................................................................10分................................................................................12分19.（12分）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为.（1）求椭圆的方程；（2）点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值.答案解析：解：（1）依题意，可知，解得....................................................................................................1分把，及点坐标代入中，得........................................................................3分所以椭圆的方程为.........................................................................................................................4分（2）设与直线平行且和椭圆相切的直线为，则的方程可设为，联立方程组得.....................................................................................6分此方程的判别式，令，解得..........................................................7分所以直线的方程为，又的方程为，其中直线到直,线的距离最大，其最大距离................................................................................................................................9分又............................................................................................................................10分故的面积的最大值为...................................................................................12分19.（12分）如图，四棱锥的底面为矩形，底面，设平面与平面的交线为.（1）证明：∥，且平面；（2）已知，为上的点，求三棱锥的体积.答案解析：解：（1）由题意，可知∥，又平面，平面所以∥平面..............................................................................................................................................2分又为平面与平面的交线，且平面，故∥......................................................4分因为底面，平面，所以，又，且，所以平面，又∥，所以平面..................................................................................................6分（2）由（1）可知，∥，又∥，所以∥........................................................................8分又平面，平面，故平面平面故与底面的距离就是和之间的距离，这个距离就是线段的长度.................................10分所以...........................................................................................12分20.（12分）已知函数.,（1）证明：存在唯一的极值点；（2）证明：函数有且仅有两个异号的零点.答案解析：解：（1）函数的定义域为.........................................................................................................................................1分因为单调递增，单调递减，所以单调递增.........................................................2分又故存在唯一的，使得............................................................................................................4分又当时，，单调递减，当时，，单调递增.因此存在唯一的极值点..................................................................................................................................6分（2），又，且在单调递增所以在内存在唯一零点...................................................................................................8分又，且又在单调递减，所以在内存在唯一零点.................................................11分综上，在定义域内有且仅有两个零点，且两个零点异号..................................................12分（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。19.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）,在直角坐标系中，曲线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求的参数方程和的直角坐标方程；（2）已知是上参数对应的点，为上的点，当线段的中点到直线的距离最大时，求点的直角坐标.19.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.（1）画出的图象；（2）求不等式的解集.答案解析：22.解：（1）的参数方程为（为参数）...........................................................2分的直角坐标方程为......................................................................................................................................4分（2）时，的坐标为.....................................................................................................................5分设，则...............................................................................................6分到的距离,................................................................................8分当时，取得最大值，此时所以点的直角坐标为.........................................................................................................10分22.解：（1）由题设知.............................................................................................3分的图像如图所示......................................................................................................................................4分（2）把函数的图象向右平移1个单位长度，得到函数的图象的图象与的图象的交点坐标为.......................................................................7分由图象可知当且仅当时，的图象在的图象上方.故不等式的解集为,...................................................................................................10分
