仪征市精诚高级中学2022届高三“9月考”数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）2021.9.6一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合．则（）A．B．C．D．2．已知，，，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．3．函数的零点所在区间为（）A．B．C．D．4．已知，则（）A．B．C．D．5．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．在空间中，、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，则7．如图所示，某圆锥的高为，底面半径为，为底面圆心，，为底面半径，且
，是母线的中点．则在此圆锥侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．8．如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为千米，现规划在半圆弧岸边上取点，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形区域内修建水上项目，并在湖面上修建栈道，作为观光路线，则当取得最大值时，（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知实数，满足，，则（）A．的取值范围为B．的取值范围为C．的取值范围为D．的取值范围为10．如图，在长方体中，，，分别是，的中点，则下列结论成立的是（）
A．B．平面C．与所成角为D．平面11．若函数的部分图像，如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．函数的图像关于对称C．函数的图像关于点对称D．时，的值域为12．下列四个命题正确的是（）A．函数是奇函数B．当时，函数的最大值为C．已知定义域为的函数，当且仅当时，成立D．函数的最小值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13．已知，，则．14．已知，，则．
15．已知是定义在上的奇函数，并且，当时，，则．16．在四面体中，底面，，、、、均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于，则（1）该四面体外接球的表面积为；（2）该四面体体积的最大值为．（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分．17．在①，②两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．在中，内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）已知函数，，求的最小值．18．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在处有极小值，求函数在区间上的最大值．19．已知函数．（1）求在上的最值；（2）在，角，，所对的边分别为，，，，，的面积为，求的值．20．已知二次函数对一切实数，都有成立，且，，．（1）求的解析式；（2）记函数在上的最大值为，最小值为，若，求的最大值．
21．如图，正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，为上一点，且．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．22．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）证明不等式恒成立．
仪征市精诚高级中学2022届高三“9月考”数学试题参考答案一、单项选择题1．B2．D3．B4．【答案】D【解析】设，则，从而．故选：D．5．C6．C7．A8．【答案】B【解析】设，，则，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得．，又，所以当时，有最大值．故选：B．二、多项选择题9．ABD因为，所以．因为，所以，则，故A正确；
因为，所以．因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，，所以，，则，故C错误；因为，，所以，，则，故D正确．补充解答（1983年全国高中数学联赛第5小题的变形，这个题真有难度）：设，，，，，，，，，则，故C错误；同理，，，则，故D正确．10．ABD11．【答案】ABD【解析】由图像可知，，即，因为，所以，，，，，，周期，，即，，对于A，，正确；对于B，，故图像关于对称，正确；
对于C，，错误；对于D，时，，所以，正确；故选ABD．12．BCDA中函数定义域关于原点不对称，所以A错误；当时，，由余弦函数图象可知的值域是，所以B正确；当时，；当时，；当时，，当时，，综上，时，，所以C正确．设，，，，所以函数在上单调递减，所以函数的最小值为，所以D正确．三、填空题13．14．【答案】【解析】由，可得，，所以，．所以，故答案为：．15．
16．（1）；（2）．四、解答题17．（1）；（2）．18．（1）；（2）．19．解：（1），，．当时，，．（2），，，，．，又，．，．又，
．20．【解析】（1）对一切实数，都有成立，则二次函数的对称轴为直线，又，则二次函数图象的顶点坐标为，设，则，因此，；（2），对称轴为直线，当时，即当时，函数在区间上单调递增，则，，则，得，此时；当时，即当时，函数区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，，则，整理得，解得，此时，；当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，，，整理得，解得，此时；当，即当时，函数在区间上单调递减，，，，，此时
．综上所述，，则实数的最大值为．21．（1）证明：在上取点使得，连接，，则由已知易得，所以，，，四点共面，又，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．（2）解：因为，所以取中点，连接，可得，在中，，故，又，点到平面的距离为棱长，设点到平面的距离为，则由为的中点可得到平面的距离也为．由可得，解得，
故点到平面的距离为．22．友情提示：联想到切线不等式，，，只需证明两个切线不等式成立即可！就是：（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），这样！下面的解答中：，等号也是不成立．22．解：（1）当时，，所以在上单调递增；当时，令，得到，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）设函数，则，可知在上单调递增．又由，知，在上有唯一实数根，且，则，即．当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，结合，知，所以，则，即不等式恒成立．
