变量之间的相关关系 两个变量的线性相关 (20分钟 35分)1.某公司2011～2016年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如表所示：年份201120122013201420152016利润x12.214.6161820.422.3支出y0.620.740.810.8911.11A.利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B.利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C.利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D.利润中位数是17，x与y有负线性相关关系【解析】选C.由表知，利润中位数是(16+18)=17，且y随x的增大而增大.2.已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，则线性回归方程为=x+6，则的值为( )x123y645A.B.C.-D.-【解析】选D.因为==2，==5，故5=×2+6，所以=-.3.为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知xi=225，yi=1600，9
=4.该班某学生的脚长为24厘米，据此估计其身高为( )A.160厘米B.163厘米C.166厘米D.170厘米【解析】选C.由题意可知=4x+，又=22.5，=160，因此160=22.5×4+，解得=70，所以=4x+70.当x=24时，=4×24+70=166厘米.4.下列各组变量中是函数关系的有______；是相关关系的有______；没有关系的是______.(填序号) ①电压U与电流I；②自由落体运动中位移s与时间t；③粮食产量与施肥量；④人的身高与体重；⑤广告费支出与商品销售额；⑥地球运行的速度与某个人行走的速度.答案：①② ③④⑤ ⑥5.(2020·洛阳高一检测)在2019年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：=-3.2x+(参考公式：回归方程=x+，=-)，则=______. 【解析】由数据表可知：==10；==8，所以=-=8-(-3.2)×10=40.答案：406.下表数据是退水温度x(℃)对黄酮延长性y(%)效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关.9
x/℃300400500600700800y/%405055606770(1)画出散点图.(2)指出x，y是否线性相关.(3)若线性相关，求y关于x的线性回归方程；(4)估计退水温度是1000℃时，黄酮延长性的情况.【解析】(1)散点图如图：(2)由散点图可以看出样本点分布在一条直线的附近，可见y与x线性相关.(3)列出下表并用科学计算器进行有关计算.i123456xi300400500600700800yi405055606770xiyi12000200002750036000469005600090000160000250000360000490000640000=550，=57=1990000，xiyi=198400于是可得b==≈0.05886，9
a=-b≈57-0.05886×550=24.627.因此所求的线性回归方程为=0.05886x+24.627.(4)将x=1000代入线性回归方程得=0.05886×1000+24.627=83.487，即退水温度是1000℃时，黄酮延长性大约是83.487%. (30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如表所示：x16171819y50344131由上表可得线性回归方程=x+中的=-4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为( )A.51个B.50个C.49个D.48个【解析】选C.由题意知=17.5，=39，代入线性回归方程得=109，109-15×4=49.2.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( )A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(，)C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【解析】选D.为正数，所以两变量具有正的线性相关关系，故A正确；B，C显然正确；若该大学某女生身高为170cm，则可估计其体重为58.79kg.3.根据如下样本数据：x3456789
y4.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为=x+，则( )A.>0，>0B.>0，<0C.<0，>0D.<0，<0【解析】选B.作出散点图如图：观察图象可知，回归直线=x+的斜率<0，当x=0时，=>0.故>0，<0.4.已知变量x和y满足关系式y=-0.1x+1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是( )A.x与y正相关，x与z负相关B.x与y正相关，x与z正相关C.x与y负相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关【解析】选C.因为变量x和y满足关系式y=-0.1x+1，一次项系数-0.1<0，所以x与y负相关；变量y与z正相关，设y=kz(k>0)，所以kz=-0.1x+1，得到z=-x+，一次项系数小于0，所以z与x负相关.5.已知x与y之间的几组数据如表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归方程为=x+.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是( )A.>b′，>a′B.>b′，<a′C.<b′，>a′D.<b′，<a′【解析】选C.由(1，0)，(2，2)求b′，a′.b′==2，a′=0-2×1=-2.9
求，时，xiyi=0+4+3+12+15+24=58，=，=，=1+4+9+16+25+36=91，所以==，=-×=-=-，所以<b′，>a′.二、填空题(每小题5分，共15分)6.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x/万元4235销售额y/万元49263954根据上表可得回归方程=bx+a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为______. 【解析】=(4+2+3+5)=3.5，=(49+26+39+54)=42，所以a=-b=42-9.4×3.5=9.1，所以回归方程为=9.4x+9.1，令x=6，得=9.4×6+9.1=65.5(万元).答案：65.5万元7.期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为=6+0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差______分. 【解析】令两人的总成绩分别为x1，x2.则对应的数学成绩估计为1=6+0.4x1，2=6+0.4x2，所以|1-2|=|0.4(x1-x2)|=0.4×50=20.答案：208.某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程9
=0.66x+1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费占人均工资收入的百分比约为______. 【解析】由=0.66x+1.562知，当y=7.675时，x=，所以所求百分比为=≈83%.答案：83%三、解答题(每小题10分，共20分)9.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi=80，yi=20，xiyi=184，=720.(1)求月储蓄y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程.(2)若该居民区某家庭的月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄为多少元？【解析】(1)由题意知n=10，=xi=×80=8，=yi=×20=2，又-n=720-10×82=80，xiyi-n=184-10×8×2=24，由此得==0.3，=-=2-0.3×8=-0.4，故所求线性回归方程为=0.3x-0.4.(2)将x=7代入线性回归方程，可以得到该家庭的月储蓄约为=0.3×7-0.4=1.7(千元).10.一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如表所示.转速x/(转/秒)1614128每小时生产缺损零件数y/个11985(1)作出散点图；(2)如果y与x成线性相关关系，求出回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？9
【解析】(1)根据表中的数据画出散点图如图所示.(2)设回归方程为：=x+并列表如下：i1234xi1614128yi11985xiyi1761269640=12.5，=8.25，=660，xiyi=438.所以=≈0.73，=8.25-0.73×12.5≈-0.88，所以=0.73x-0.88.(3)令0.73x-0.88≤10，解得x≤14.9≈15.故机器的运转速度应控制在15转/秒内.1.在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，其观测结果如下：温度x/℃010205070溶解度y/g66.776.085.0112.3128.0则由此得到回归直线的斜率约为__________.(精确到0.01)( ) A.0.22B.0.44C.0.66D.0.88【解析】选D.=30，=93.6，=7900，xiyi=17035，所以回归直线的斜率==≈0.88.9
2.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x/元88.28.48.68.89销售量y/件908483807568(1)求回归直线方程=x+，其中=-20，=-；(2)预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从(1)中的关系，并且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应为多少元？(利润=销售收入-成本)【解析】(1)由于=(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5，=(90+84+83+80+75+68)=80，又=-20，所以=-=80+20×8.5=250，从而回归直线方程为=-20x+250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意，得L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000=-20(x-8.25)2+361.25.当且仅当x=8.25时，L取得最大值.故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.9
