★启用并使用完毕前2021年高中三年级学情诊断考试数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．命题，成立的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．3．已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（）A．3B．1C．0D．4．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（ ）A．﹣50B．0C．2D．505．若关于的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．7．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后试卷第13页，总9页
的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（）（参考数据：，，）A．4分钟B．5分钟C．6分钟D．7分钟8．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为A．或B．1或C．或2D．或1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知，，，则（）A．的最小值为25B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为10．下列命题为真命题的是（）A．函数在区间上的值域是B．当时，，使成立C．幂函数的图象都过点D．“”是“”的必要不充分条件11．定义在R上的可导函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A．﹣3是f（x）的一个极小值点试卷第13页，总9页
B．﹣2和﹣1都是f（x）的极大值点C．f（x）的单调递增区间是（﹣3，+∞）D．f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣3）12．对于函数，，若存在，使，则称，是函数与的图象的一对“关于轴的隐对称点”已知函数满足：①的图象关于直线对称；②；③当时，．函数（其中且），若函数与恰有7对“关于轴的隐对称点”，则实数的值可以为（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是____________14．已知函数的导函数为，且（其中e为自然对数的底数），则________．15．若函数f（x）＝（a，b∈R）为奇函数，则f（a+b）的值为 ．16．已知函数（a>0且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数的定义域是集合，函数的定义域是集合．（1）分别求集合、；（2）若，求实数的取值范围．试卷第13页，总9页
18．（12分）已知函数在时的最小值为．（1）求；（2）若函数的定义域为，求的取值范围．19．（12分）已知函数是定义域在上的奇函数．（1）求的值，并判断的单调性(不必给出证明)；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．20．（12分）已知函数，且.（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明；（3）当时，求使的的解集.21．（12分）已知二次函数满足．（1）求的解析式；（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)＝xex－a(x＋1)2.(1)若a＝e，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．.试卷第13页，总9页
参考答案1．D，，所以，故选：D.2．D命题，成立，即，成立，则.又可以推出，反之，推不出，所以是命题成立的一个充分不必要条件，故选：D.3．A根据题意，函数在定义域上单调，且时均有，则为常数，设，则，则有，解可得，则，故；故选：A.4．C解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，试卷第13页，总9页
故选：C．5．B解：令，则函数的图象为开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，故在区间上，（4），若不等式在区间内有解，则，解得，即实数的取值范围是.故选：B．6．A，，又，，.故选：A．7．C根据题意，，即设茶水从降至大约用时t分钟，则，即，即两边同时取对数：解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟故选：C8．A解：已知，①试卷第13页，总9页
且，分别是上的偶函数和奇函数，则，得：，②①+②得：，由于关于对称，则关于对称，为偶函数，关于轴对称，则关于对称，由于有唯一零点，则必有，，即：，解得：或.故选：A.9．AD对于A，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；对于B，，当时（此时）取得最小值，故B错误；对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以的最大值为，故C错误；对于D，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故D正确.故选:AD试卷第13页，总9页
10．BCDA．因为函数在区间上递增，所以函数在区间上的值域是，故错误；B.当时，，所以，使成立，故正确；C.因为，所以幂函数的图象都过点，故正确；D.不等式的解集是，又Ü，所以必要不充分，故正确；故选：BCD11.ACD解：∵当x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（﹣3，﹣1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴﹣3是f（x）的极小值点，故选项A正确；由图可知，当x∈（﹣3，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）的递增区间为（﹣3，+∞），故C正确；由图可知，当x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＜0，∴f（x）的递减区间为（﹣∞，﹣3），故D正确；又∵f'（x）在x＝﹣2和x＝﹣1两侧同号，∴﹣2，﹣1不是f（x）的极值点，故B错误；故选：ACD．12．BC解析：因为的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，即为偶函数，又因为，所以的图象关于直线对称，且，即的周期为2，又因为当时，，函数（其中且），显然，故作出函数与函数的图象：则由图可知，即，故，结合选项知B、C符合，故选：BC.试卷第13页，总9页
13．解析：由命题“”是真命题，可知，的最小值是2，所以，即实数的取值范围是.故答案为：14．-2解析：因，则两边求导得：，取得：，解得，所以.故答案为：-215．-1解析：∵函数f（x）＝＝为奇函数，故f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，故．即，∴f（x）＝，∴f（a+b）＝f（1）＝1﹣2＝﹣1，故答案为：﹣1．16．解析：因为函数（a>0且a≠1）在R上单调递减，，作出的图像如图所示：若恰有两个不相等的实数解，则点应当位于点的上方，即，所以.故答案为：.17．（1）由，解得：或，故或；由，得，解得：或，故或．试卷第13页，总9页
（2）由得，因此，解得，所以实数的取值范围是，．18．解：（1），，，当且仅当，即时等号成立，；（2）由（1）可知的定义域为，不等式的解集为，①时，恒成立，满足题意；②时，，解得，综上得，的取值范围为，．19．(1)因为是定义域在R上的奇函数，有，所以，所以所以，所以所以，在R上为减函数；(2)不等式等价于，又在R上为减函数，所以即对恒成立，所以，即实数k的取值范围为20．（1）因为，所以，解得，的定义域为.（2）的定义域为，，故是奇函数.（3）因为当时，是增函数，是减函数，所以当时在定义域内是增函数，即，试卷第13页，总9页
，，，，解得，故使的的解集为.21．（1）设，则解之得：（2）根据题意：解之得：的取值范围为22．(1)直接法(学生用书不提供解题过程)由题意知，当a＝e时，f(x)＝xex－e(x＋1)2，函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝(x＋1)ex－e(x＋1)＝(x＋1)(ex－e)．令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值－极小值－e所以当x＝－1时，f(x)取得极大值－；当x＝1时，f(x)取得极小值－e.(2)法一：分类讨论法(学生用书不提供解题过程)f′(x)＝(x＋1)ex－a(x＋1)＝(x＋1)(ex－a)，若a＝0，易知函数f(x)在(－∞，＋∞)上只有一个零点，故不符合题意．若a<0，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．由f(－1)＝－<0，且f(1)＝e－2a>0，当x→－∞时，f(x)→＋∞，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点．试卷第13页，总9页
若lna<－1，即0<a<，当x∈(－∞，lna)∪(－1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(lna，－1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．又f(lna)＝alna－a(lna＋1)2<0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上至多有一个零点，故不符合题意．若lna＝－1，即a＝，当x∈(－∞，＋∞)时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，故不符合题意．若lna>－1，即a>，当x∈(－∞，－1)∪(lna，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(－1，lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．又f(－1)＝－<0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上至多有一个零点，故不符合题意．综上，实数a的取值范围是(－∞，0)．法二：数形结合法(学生用书提供解题过程)令f(x)＝0，即xex－a(x＋1)2＝0，得xex＝a(x＋1)2.当x＝－1时，方程为－e－1＝a×0，显然不成立，所以x＝－1不是方程的解，即－1不是函数f(x)的零点．当x≠－1时，分离参数得a＝.记g(x)＝(x≠－1)，则g′(x)＝＝.当x<－1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>－1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．当x＝0时，g(x)＝0；当x→－∞时，g(x)→0；当x→－1时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞.故函数g(x)的图象如图所示．试卷第13页，总9页
作出直线y＝a，由图可知，当a<0时，直线y＝a和函数g(x)的图象有两个交点，此时函数f(x)有两个零点．故实数a的取值范围是(－∞，0)．试卷第13页，总9页
