蚌埠市２０２１届高三年级第二次教学质量检查考试数学（文史类）本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟注意事项：１答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。１复数ｚ满足ｚ·（１＋ｉ）＝２ｉ，则｜ｚ－２ｉ｜＝槡１０Ａ槡２ＢＣ槡１０Ｄ２＋槡２２２２已知集合Ａ＝｛ｘ｜０＜ｘ＜４｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ－２ｘ－８＞０｝，则Ａ∩（瓓ＲＢ）＝Ａ（０，２］Ｂ（０，２）Ｃ（０，４］Ｄ（０，４）Ｓ９３已知Ｓｎ是等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，且ａ２＋ａ８＝４，则＝９Ａ１Ｂ２Ｃ６Ｄ１８４《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取１个数组成一个两位数，则其能被３整除的概率是１３７２ＡＢＣＤ４１０２０５第４题图３３π５已知α是三角形的一个内角，ｔａｎα＝，则ｃｏｓ（α＋）＝４４Ａ－７槡２Ｂ－槡２Ｃ槡２Ｄ７槡２１０１０１０１０１ππ６函数ｙ＝ｌｎ（－＜ｘ＜）的图象是ｃｏｓｘ２２Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．蚌埠市高三年级数学（文）试卷第１页（共４页）
２２ｘｙ槡５７已知双曲线Ｃ：－＝１（ａ＞０，ｂ＞０）离心率为，则双曲线Ｃ的渐近线方程为２２ａｂ２１１１Ａｙ＝±ｘＢｙ＝±ｘＣｙ＝±ｘＤｙ＝±ｘ４３２８某校随机调查了１１０名不同的高中生是否喜欢篮球，得到如下的列联表：男女喜欢篮球４０２０不喜欢篮球２０３０２２ｎ（ａｄ－ｂｃ）附：ｋ＝（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ）２Ｐ（ｋ≥ｋ０）０．０５００．０１００．００１ｋ０３．８４１６．６３５１０．８２８参照附表，得到的正确结论是Ａ在犯错误的概率不超过０．１％的前提下，认为“喜欢篮球与性别有关”Ｂ在犯错误的概率不超过０．１％的前提下，认为“喜欢篮球与性别无关”Ｃ有９９％以上的把握认为“喜欢篮球与性别有关”Ｄ有９９％以上的把握认为“喜欢篮球与性别无关”ｘ９已知曲线ｆ（ｘ）＝（ｘ＋ａ）ｅ在点（－１，ｆ（－１））处的切线与直线２ｘ＋ｙ－１＝０垂直，则实数ａ的值为２ａｅｅｅＡＢ＋１Ｃ－Ｄｅ２２２π１０函数ｆ（ｘ）＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（Ａ＞０，ω＞０，｜φ｜＜）的部２π分图象如图所示，则将ｆ（ｘ）的图象向右平移个单位后，３所得图象对应函数的解析式可以为Ａｙ＝ｃｏｓ２ｘＢｙ＝－ｃｏｓ２ｘ５ππＣｙ＝ｓｉｎ（２ｘ＋）Ｄｙ＝ｓｉｎ（２ｘ－）第１０题图６６１１已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为Ａ槡３πＢ８槡２π２３Ｃ８槡３πＤ８π３ｌｏｇ２ｘ，ｘ＞０，１２已知函数ｆ（ｘ）＝{函数ｇ（ｘ）满足以下三点条－ｘ，ｘ≤０，第１１题图件：①定义域为Ｒ；②对任意ｘ∈Ｒ，有ｇ（ｘ＋π）＝２ｇ（ｘ）；③当ｘ∈［０，π］时，ｇ（ｘ）＝ｓｉｎｘ．则函数ｙ＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）在区间［－４π，４π］上零点的个数为Ａ６Ｂ７Ｃ８Ｄ９蚌埠市高三年级数学（文）试卷第２页（共４页）
二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分．ｘ＋２ｙ≥２１３已知实数ｘ，ｙ满足{ｘ－ｙ＋２≥０，目标函数ｚ＝５ｘ－ｙ的最大值为．４ｘ－ｙ≤４１４已知单位向量ｅ１，ｅ２满足：ｅ１⊥（ｅ１＋２ｅ２），则向量ｅ１与向量ｅ２的夹角θ＝２１５已知点Ａ是抛物线ｙ＝２ｐｘ（ｐ＞０）上一点，Ｆ为其焦点，以Ｆ为圆心、｜ＦＡ｜为半径的圆交准线于Ｂ，Ｃ两点，若△ＦＢＣ为等腰直角三角形，且△ＡＢＣ的面积是４槡２，则抛物线的方程是．１６在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，若ａｃｏｓＣ＋槡３ａｓｉｎＣ－ｂ－ｃ＝０，则△ＡＢＣ外接圆周长与△ＡＢＣ周长之比的最小值为三、解答题：共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第１７～２１题为必考题，每个试题考生都必须作答。第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共６０分．１７（１２分）已知数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，ａ２＝３，其前ｎ项和Ｓｎ满足Ｓｎ＋１＋Ｓｎ－１＝２Ｓｎ＋２（ｎ≥２）．（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；１（２）若ｂｎ＝，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ．ａｎａｎ＋１１８．（１２分）为了满足广大人民群众日益增长的体育需求，２０２０年８月８日（全民健身日）某社区开展了体育健身知识竞赛，满分１００分．若该社区有１０００人参加了这次知识竞赛，为调查居民对体育健身知识的了解情况，该社区以这１０００名参赛者的成绩（单位：分）作为样本进行估计，将成绩整理后分成五组，依次记［５０，６０），［６０，７０），［７０，８０），［８０，９０），［９０，１００］，并绘制成如图所示的频率分布直方图．（１）请补全频率分布直方图并估计这１０００名参赛者成绩的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（２）采用分层抽样的方法从这１０００人的成绩中抽取容量为４０的样本，再从该样本成绩不低于８０分的参赛者中随机抽取２名进行问卷调查，求至少有一名参赛者成绩不低于９０分的概率．第１８题图蚌埠市高三年级数学（文）试卷第３页（共４页）
１９（１２分）如图，已知四边形ＡＢＣＤ和ＢＣＥＧ均为直角梯形，ＡＤ∥ＢＣ，ＣＥ∥ＢＧ，且∠ＢＣＤ＝∠ＢＣＥπ＝，∠ＥＣＤ＝１２０°，ＢＣ＝ＣＤ＝ＣＥ＝２ＡＤ＝２ＢＧ＝２．２（１）求证：ＡＧ∥平面ＢＤＥ；（２）求点Ｇ到平面ＢＤＥ的距离．第１９题图２０．（１２分）２２设定圆Ｍ：（ｘ＋２）＋ｙ＝２４，动圆Ｎ过点Ｆ（２，０）且与圆Ｍ相切，记动圆Ｎ圆心Ｎ的轨迹为曲线Ｃ．（１）求曲线Ｃ的方程；→→（２）直线ｌ与曲线Ｃ有两个交点Ｐ，Ｑ，若ＯＰ·ＯＱ＝０，证明：原点Ｏ到直线ｌ的距离为定值．２１．（１２分）ａ已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ－－ｌｎｘ（ａ∈Ｒ）有两个极值点ｘ１，ｘ２，且ｘ１＜ｘ２．ｘ（１）求实数ａ的取值范围，并讨论ｆ（ｘ）的单调性；（２）证明：ｆ（ｘ２）＞ｌｎ２．（二）选考题：共１０分。请考生在第２２、２３题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。２２［选修４—４：坐标系与参数方程］（１０分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，以坐标原点Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ｃｏｓθ＋４ｓｉｎθ，θ∈［０，２π）．（１）求曲线Ｃ的直角坐标方程；ｘ＝２槡５ｔ＋６，５（２）由直线ｌ：{（ｔ为参数，ｔ∈Ｒ）上的点向曲线引切线，求切线长的最小值．ｙ＝槡５ｔ，５２３［选修４—５：不等式选讲］（１０分）设函数ｆ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜－｜ａ－１｜，（１）若ａ＝１时，解不等式：ｆ（ｘ）＞２｜ｘ＋１｜；（２）若关于ｘ的不等式ｆ（ｘ）＞２｜ｘ＋１｜存在实数解，求实数ａ的取值范围．蚌埠市高三年级数学（文）试卷第４页（共４页）
蚌埠市２０２１届高三年级第二次教学质量检查考试数学（文史类）参考答案及评分标准一、选择题：题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＡＤＢＣＡＣＣＣＤＢＢＡ二、填空题：二、填空题：１３．６１４．２π１５．ｙ２＝４ｘ１６．２槡３π３９三、解答题：１７．（１２分）解：（１）由题意知，Ｓｎ＋１－Ｓｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＋２（ｎ≥２），从而ａｎ＋１＝ａｎ＋２（ｎ≥２），即ａｎ＋１－ａｎ＝２（ｎ≥２），………………………２分∵ａ２－ａ１＝３－１＝２，∴数列｛ａｎ｝是以１为首项，公差为２的等差数列，……………………………４分∴ａｎ＝２ｎ－１（ｎ∈Ｎ）；………………………………………………………６分１１１１１（２）ｂｎ＝＝＝(－)…………………８分ａｎ·ａｎ＋１（２ｎ－１）（２ｎ＋１）２２ｎ－１２ｎ＋１１１１１１１∴Ｔｎ＝(１－＋－＋…＋－)………………………１０分２３３５２ｎ－１２ｎ＋１１１＝(１－)２２ｎ＋１ｎ＝…………………………………………………………………………２分２ｎ＋１１８．（１２分）解：（１）成绩落在［６０，７０）的频率：１－（０．３０＋０．１５＋０．１０＋０．０５）＝０．４０，……………………………………２分补全的频率分布直方图如图：……………………………４分蚌埠市高三年级数学（文史类）参考答案第１页（共４页）
样本的平均数：—ｘ＝５５×０．３０＋６５×０．４０＋７５×０．１５＋８５×０．１０＋９５×０．０５＝６７（分）……………………………………………………………………………………６分（２）由分层抽样知，成绩在［８０，９０）内的参赛者中抽取４人，记为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，成绩在［９０，１００］内的参赛者中抽取２人，记为ａ，ｂ，则满足条件的所有基本事件为：（Ａ，Ｂ），（Ａ，Ｃ），（Ａ，Ｄ），（Ａ，ａ），（Ａ，ｂ），（Ｂ，Ｃ），（Ｂ，Ｄ），（Ｂ，ａ），（Ｂ，ｂ），（Ｃ，Ｄ），（Ｃ，ａ），（Ｃ，ｂ），（Ｄ，ａ），（Ｄ，ｂ），（ａ，ｂ），共１５个，………………………………８分记“至少有一名参赛者成绩不低于９０分”为事件Ａ，则事件Ａ包含的基本事件有：（Ａ，ａ），（Ａ，ｂ），（Ｂ，ａ），（Ｂ，ｂ），（Ｃ，ａ），（Ｃ，ｂ），（Ｄ，ａ），（Ｄ，ｂ），（ａ，ｂ）共９个．………………………………………………………………………………１０分９３故所求概率为Ｐ（Ａ）＝＝．………………………………………………１２分１５５１９．（１２分）解：（１）证明：在平面ＢＣＥＧ中，过Ｇ作ＧＮ⊥ＣＥ于Ｎ，交ＢＥ于Ｍ，连接ＤＭ，１由题意知ＭＧ＝ＭＮ，ＭＮ∥ＢＣ∥ＤＡ且ＭＮ＝ＡＤ＝ＢＣ，２∴ＭＧ∥ＡＤ，ＭＧ＝ＡＤ，…………………………………………………………３分∴四边形ＡＤＭＧ为平行四边形，∴ＡＧ∥ＤＭ，又ＤＭ平面ＢＤＥ，ＡＧ平面ＢＤＥ，∴ＡＧ∥平面ＢＤＥ．………………………………………………………………６分（２）由题意知ＢＣ⊥平面ＥＣＤ，∵ＢＣ平面ＢＣＥ∴平面ＢＣＥ⊥平面ＥＣＤ，在平面ＥＣＤ内过Ｄ点作ＤＦ⊥ＣＥ交ＣＥ于Ｆ，则ＤＦ⊥平面ＢＣＥ，∵∠ＥＣＤ＝１２０°，∴∠ＤＣＦ＝６０°，ＤＦ＝ＤＣｓｉｎ６０°＝槡３，………………………………………８分设点Ｇ到平面ＢＤＥ的距离为ｄ，１１则由ＶＧ－ＢＤＥ＝ＶＤ－ＢＥＧ得Ｓ△ＢＤＥ·ｄ＝Ｓ△ＢＥＧ·ＤＦ，３３由题意知ＢＥ＝ＢＤ＝２槡２，ＤＥ＝槡３ＣＥ＝２槡３，１２１２１∴Ｓ＝ＤＥ·ＢＥ－（ＤＥ）＝·２槡３·槡５＝槡１５，……………１０分△ＢＤＥ２槡２２１１１Ｓ＝ＢＧ·ＢＣ＝１代入Ｓ·ｄ＝Ｓ·ＤＦ△ＢＥＧ△ＢＤＥ△ＢＥＧ２３３解得ｄ＝槡５即点Ｇ到平面ＢＤＥ的距离为槡５．………………………………１２分５５２０．（１２分）２２解：（１）∵点Ｆ（２，０）在圆Ｍ：（ｘ＋２）＋ｙ＝２４内∴圆Ｎ内切于圆Ｍ∴｜ＮＭ｜＋｜ＮＦ｜＝２槡６＞｜ＦＭ｜蚌埠市高三年级数学（文史类）参考答案第２页（共４页）
所以Ｎ点轨迹是以Ｍ，Ｆ为焦点的椭圆，且ａ＝槡６，ｃ＝２，从而ｂ＝槡２２２ｘｙ∴点Ｎ的轨迹Ｃ的方程为＋＝１；………………………………………５分６２（２）设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２）若直线ｌ斜率存在，设ｌ：ｙ＝ｋｘ＋ｍ，ｙ＝ｋｘ＋ｍ，联立ｘ２ｙ２{＋＝１，６２２２２整理得：（１＋３ｋ）ｘ＋６ｋｍｘ＋３ｍ－６＝０，２－６ｋｍ３ｍ－６ｘ１＋ｘ２＝２，ｘ１ｘ２＝２，①………………………………………６分１＋３ｋ１＋３ｋ→→∵ＯＰ·ＯＱ＝０，∴ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝０，①２２化简得（１＋ｋ）ｘ１ｘ２＋ｋｍ（ｘ１＋ｘ２）＋ｍ＝０………………………………８分２２即２ｍ－３ｋ－３＝０，｜ｍ｜｜ｍ｜槡６故原点Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ＝＝＝，………………１０分２２槡１＋ｋ槡２｜ｍ｜槡３若直线ｌ斜率不存在，设ｌ：ｘ＝ｎ，ｘ＝ｎ，联立ｘ２ｙ２{＋＝１，６２２２解得Ｐ(ｎ，６－ｎ)，Ｑ(ｎ，－６－ｎ)，代入①化简得｜ｎ｜＝槡６，槡３槡３２即原点Ｏ到直线的距离为ｄ＝槡６，……………………………………………１１分２综上所述，原点Ｏ到直线ｌ的距离为定值槡６．…………………………………１２分２２１．（１２分）２ｘ－ｘ＋ａ解：（１）∵ｆ′（ｘ）＝，ｘ＞０２ｘ２１令ｇ（ｘ）＝ｘ－ｘ＋ａ，其对称轴为ｘ＝，２由题意知ｘ１，ｘ２是方程ｇ（ｘ）＝０的两个不相等的实根，△＝１－４ａ＞０则{………………………………………………………………２分ｇ（０）＝ａ＞０１∴０＜ａ＜，……………………………………………………………………４分４当ｘ∈（０，ｘ１）时，ｆ′（ｘ）＞０，∴ｆ（ｘ）在（０，ｘ１）内为增函数；当ｘ∈（ｘ１，ｘ２）时，ｆ′（ｘ）＜０，∴ｆ（ｘ）在（ｘ１，ｘ２）内为减函数；当ｘ∈（ｘ２，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０，∴ｆ（ｘ）在（ｘ２，＋∞）内为增函数；………６分蚌埠市高三年级数学（文史类）参考答案第３页（共４页）
１２（２）证明：由（１）知ｘ２∈（，１），ａ＝－ｘ２＋ｘ２，２２－ｘ２＋ｘ２ｆ（ｘ２）＝ｘ２－－ｌｎｘ２＝２ｘ２－１－ｌｎｘ２，………………………………８分ｘ２１令ｈ（ｘ）＝２ｘ－１－ｌｎｘ（＜ｘ＜１），２１２ｘ－１则ｈ′（ｘ）＝２－＝＞０；ｘｘ１∴ｈ（ｘ）在（，１）上单调递增，…………………………………………………１０分２１１故ｈ（ｘ）＞ｈ（）＝－ｌｎ＝ｌｎ２２２从而ｆ（ｘ２）＞ｌｎ２………………………………………………………………１２分２２．（１０分）解：（１）由ρ＝２ｃｏｓθ＋４ｓｉｎθ，θ∈［０，２π），２可得ρ＝２ρｃｏｓθ＋４ρｓｉｎθ，θ∈［０，２π）………………………………………２分２２２∵ρ＝ｘ＋ｙ，ρｃｏｓθ＝ｘ，ρｓｉｎθ＝ｙ２２∴曲线Ｃ的直角坐标方程为（ｘ－１）＋（ｙ－２）＝５．………………………５分ｘ＝２槡５ｔ＋６５（２）∵直线ｌ的参数方程为：{（ｔ为参数，ｔ∈Ｒ），槡５ｔｙ＝５∴直线ｌ上的点Ｐ(２槡５ｔ＋６，槡５ｔ)向圆Ｃ引切线长是５５２２槡｜ＰＣ｜２－５＝２槡５＋槡５－５………………………７分(ｔ＋６－１)(ｔ－２)槡５５２＝ｔ＋８槡５＋５６２槡７０，()５≥５槡５∴当ｔ＝－８２槡７０………………………………１０分槡５时，切线长最小值为５５２３．（１０分）解：（１）ａ＝１时，所解不等即为：｜２ｘ－１｜＞２｜ｘ＋１｜，……………………………２分１两边平方解得ｘ＜－，４１∴原不等式解集为{ｘ｜ｘ＜－}……………………………………………５分４（２）｜２ｘ－１｜－｜ａ－１｜＞２｜ｘ＋１｜存在实数解，即｜ａ－１｜＜｜２ｘ－１｜－２｜ｘ＋１｜存在实数解，令ｇ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜－２｜ｘ＋１｜，即｜ａ－１｜＜ｇ（ｘ）ｍａｘ，……………………７分ｇ（ｘ）＝｜２ｘ－１｜－２｜ｘ＋１｜≤｜２ｘ－１－（２ｘ＋２）｜＝３，当ｘ≤－１时等号成立，∴｜ａ－１｜＜３，解得ａ∈（－２，４）………………１０分（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）蚌埠市高三年级数学（文史类）参考答案第４页（共４页）
