____________________________________________________________________________________________莲塘一中临川二中2021届高三上学期联考理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．已知，，则的元素个数为（）A．1B．2C．3D．42．已知平面，直线，满足，且互为异面直线，则“且”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．4．如图所示是一个正方体的表面展开图，，，均为棱的中点，是顶点，则在正方体中异面直线和所成角的余弦值为（）A．B．C．D．5．已知1，a，x，b，16这五个实数成等比数列，则x的值为（）A．4B．－4C．±4D．不确定6.已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为（）A．0B．1C．2D．37．若，，则（）A．或0B．C．D．0
____________________________________________________________________________________________8．定义:，用表示不超过的最大整数，则称为取整函数，例如：，，已知函数，则的值域是（）A．B．C．D．9．已知直三棱柱的底面是正三角形，，是侧面的中心，球与该三棱柱的所有面均相切，则直线被球截得的弦长为（）A．B．C．D．10．已知函数，若的零点都在区间内，当取最小值时，则等于（）A．3B．4C．5D．611．在凸四边形中，,且为等边三角形，若点在四边形上运动，则的最小值是（）A．B．C．D．12．已知函数，现将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像。当时，记方程的根从小到大依次为，，，则等于( ).A．B．C．D．二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．复数的共轭复数为，则的虚部为.14．如右图，在等腰直角三角形中，斜边.过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为；过点作
____________________________________________________________________________________________的垂线，垂足为；…，以此类推，设，，，…，，则_______.15．若实数，满足不等式组，且使取得最大值的最优解有无穷多个,则实数的值为__________.16．如上图，水平桌面上放置一个棱长为1米的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，小孔(孔的大小不计)到的距离为0.75米，现将该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，则整个正方体水槽在水平桌面上的投影面积大小为_______平方米.三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知.（1）求不等式的解集；（2）记集合，若，求实数的取值范围．18．已知等差数列及各项为正的等比数列,记数列的前项和为，满足，，__________.在①；②这两个条件中任选其中一个，补充在横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则以选择第一个解答记分）.（1）求数列和的通项公式；（2）若,求数列的前项和.19．已知函数.（1）当时，求出函数的最大值，并写出对应的的集合；（2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的最小值.
____________________________________________________________________________________________20．如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，，，N为PD的中点（1）求证：平面PBC．（2）若点M为线段PD上三等份点且靠近点P，求直线CM与平面PBC所成角的余弦值.21．设函数().（1）讨论函数的单调性；（2）若且方程,在上有两个不相等的实数根，，求证:.22．已知函数(其中e为自然对数的底数)．（1）若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（2）设n∈N*，证明：.莲塘一中临川二中2021届高三上学期联考理科数学答案1~12CCABABDCDCBB13．14．15．216.8.【详解】函数的值域是.9．【详解】因为球与直三棱柱的所有面均相切，且直三棱柱的底面是正三角形，所以球心为该三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点，如图所示，设底面三角形的重心为，连接，则底面，连接，易知点在上，连接、，因为是侧面的中心，所以四边形为正方形，设球的半径为，则由，可得，易得
____________________________________________________________________________________________，连接，可得，∴，故所求弦长为，10.【详解】依题意,当时，根据等比数列求和公式，有，故函数在上为增函数.，故函数零点在区间内，所以零点在内,即:11.【详解】如图所示，四边形关于直线对称，故点在四边形上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可，易知，则，①当点在边上运动时，设，则，∴，当时，的最小值为；②当点在边上运动时，设，则，∴，当时，的最小值为；综上，的最小值为；12.【详解】由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数的图象，可得方程在区间有5个解，即，其中，即解得
____________________________________________________________________________________________所以.16.【详解】投影为:正方形和正方形在桌面上的投影,先考虑平面和平面分别与桌面所成角,所以投影面积为17．【详解】（1）依题意，；当时，，则，故；当时，，则，无解；当时，，则，故；故或；…………………………5分（2）,可知，即的值域为，因为，所以，故实数的取值范围为…………………………5分18．【详解】（1）选①解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，，故，由题意可知，，，当时，，解得，，当时，，即，则是一个首项为、公比为的等比数列，，…………………5分选②解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，，故，，设等比数列的公比为，因为，所以，
____________________________________________________________________________________________因为，，所以，解得或（舍去），故，………………………5分（2）①②①-②得：故．…………………………7分19．【详解】（1），，所以，，当或时，即当时，函数取最大值；…………………………5分（2）由题意，化简得，，，，解得.在中，根据余弦定理，得.由，知，即.当时，取最小值为.…………………………7分20．【详解】（1）证明：过作，垂足为，则，如图，以为坐标原点，分別以，，为轴建立空间直角坐标系，则，，， ，，，为的中点，，则，设平面的一个法向量为，，
____________________________________________________________________________________________，则，令，解得：.，即，又平面，所以平面．…………………………4分（2）由题意知.则又平面的一个法向量,所以直线CM与平面PBC所成角的正弦值为:，即:直线CM与平面PBC所成角的余弦值为:……………………8分21．【详解】（1）当时，恒成立,在上单调递增当时，令得，令得在上单调递增，在上单调递减综上：当时，在上单调递增当时，在上单调递增，在上单调递减.………………4分（2）方程即在上有两个不等实根和不妨设则①②①-②得欲证只需证因为，所以,则即需证：
____________________________________________________________________________________________整理得：,即证令，,显然在上单增．所以,故原命题得证.…………………………8分22．【详解】（1）若对任意，不等式恒成立,即:恒成立当时，恒成立．令g(x)＝－1，则g′(x)＝.令g′(x)>0，，g′(x)<0，，0<x<1，所以g(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增．∴x＝1时，g(x)取最小值e－1.所以．当时，若,恒成立;若,取,则显然不成立,所以综上,…………………………6分（2）证明：在（1）中，令可知对任意实数x都有，当时,取”=”两边同量取对数得:,当时,取”=”故:(当时,取”=”),所以:则:即:………………………6分
