山东师大附中2018级数学2020年11月学业质量检测题（满分：150分考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解不等式确定集合B，然后由交集定义计算．【详解】由，得，解得，所以，又，所以.故选：D2.设i为虚数单位，，“复数是纯虚数“是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析】先化简z，求出a，再判断即可.【详解】复数是纯虚数，则，，是的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本小题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若-24-
，则这个三角形的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.等腰或直角三角形【答案】A【解析】【分析】由条件和余弦定理可得，然后化简可得答案.【详解】因为，所以由余弦定理可得，即所以，所以三角形的形状为直角三角形故选：A4.已知角的顶点与原点O重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件求得，再利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得的值.【详解】由题意可知，点在直线上，则，可得，因此，.故选：D.5.标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.1的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（）-24-
A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】设第行视标边长为，第行视标边长为由题意可得：则数列为首项为，公比为的等比数列即则视力4.9的视标边长为故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.6.向量，满足，，，则在方向上的投影为（）A.-1B.C.D.1【答案】B-24-
【解析】【分析】根据题条件，先求出，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果.【详解】因为向量，满足，，，所以，即，则，所以在方向上的投影为.故选：B.7.已知函数，若等差数列的前项和为，且，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析出函数为上的奇函数且为增函数，由，推导出，利用等差数列的求和公式可求得的值.【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为，，所以，函数为奇函数，当时，由于内层函数为增函数，外层函数也为增函数，所以，函数在上为增函数，由于函数为奇函数，则该函数在上也为增函数，-24-
因为函数在上连续，所以，函数在上为增函数，因为，，可得.因此，.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查等差数列求和，利用函数在上的单调性与奇偶性推导出是求解的关键.8.已知变量，且，若恒成立，则m的最大值为（为自然对数的底数）（）A.eB.C.D.1【答案】A【解析】【分析】不等式两边同时取对数，然后构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论.【详解】，，恒成立，设函数，，，在上为增函数，函数的导数，，即函数的增区间是，则的最大值为.故选：A【点睛】-24-
关键点点睛：本题考查利用函数研究函数的单调性，本题的关键点是对已知等式变形，，转化为求函数的单调区间.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分；部分选对的得3分；有选错的得0分．9.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.设，为非零向量，则“”是“”的充要条件B.设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角C.设，，为非零向量，则D.若点G为的重心，则【答案】AD【解析】【分析】利用向量数量积的运算可判断A，利用数量积的定义可判断B，利用数乘及数量积定义可判断C，利用向量的线性运算可判断D.【详解】对于A，因为所以“”是“”的充要条件，A正确；对于B，若，则，的夹角为锐角或零角，B错误；对于C，表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以两者不一定相等，故C错误；对于D，如图，设BC的中点为D，因为G为的重心，所以，即，D正确.故选：AD-24-
10.等差数列的前n项和记为，若，，则（）A.B.C.D.当且仅当时，【答案】AB【解析】【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果.【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，，故AB正确，C错误；因为，故D错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由得到，结合，进而得到，考查学生逻辑推理能力.11.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（）-24-
A.B.的图象关于点对称C.的图象关于对称D.在上的最大值是1【答案】ABC【解析】【分析】先由最小正周期求出，再根据函数的变换求出，结合三角函数的性质即可判断.【详解】因为最小正周期为，，解得，，将的图象向左平移个单位长度得，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得，即，则，故A正确；，的图象关于点对称，故B正确；，的图象关于对称，故C正确；当时，，则，即，故在上的最大值为，故D错误.故选：ABC.【点睛】结论点睛：判断对称轴和对称中心的方法：对于-24-
，若函数满足，则关于点对称；若函数满足，则关于对称.12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数是偶函数，且在上不单调B.函数是奇函数，且在上不单调递增C.函数在上单调递增D对任意，都有，且【答案】AD【解析】【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A、B、C、D.【详解】解：对A，，定义域为，关于原点对称，，是偶函数，其图像关于轴对称，上不单调，故A正确；对B，，，是奇函数，令，则，在上单调递增，故B错误；-24-
对C，，且在上单调递增，又，时，，在上单调递减，故C错误；对D，是偶函数，且在上单调递增，，且，故D正确.故选：AD.【点睛】用导数求函数单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若，其中、都是实数，是虚数单位，则________．【答案】【解析】【分析】利用复数除法和复数相等的知识得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，利用复数的模长公式可得出的值.【详解】，则，解得，因此，.故答案为：.-24-
【点睛】本题考查复数模长的计算，涉及复数的除法以及复数相等等知识的应用，建立方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.14.函数在其极值点处的切线方程为____________.【答案】【解析】，令，此时函数在其极值点处的切线方程为考点：：导数的几何意义.15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交AC于点D，且，则的最小值为__________．【答案】16【解析】【分析】由可推出，即，故利用基本不等式，结合“乘1法”即可求出的最值.【详解】由题可知，则由角平分线性质和三角形面积公式可得：，化简得，即，所以，当且仅当即时，取等号.故答案为：.【点睛】思路点睛：利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”-24-
，最后利用基本不等式求最值.16.如图，在四边形ABCD中，，，，且，则实数的值为__________，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为_______．【答案】(1).(2).【解析】分析】求出，由利用数量积公式求解的值即可；建立坐标系，设，则，利用数量积的坐标表示，结合二次函数配方法求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，所以；建立如图所示的坐标系，因为，，，可得，设，因为，则，所以，，-24-
当时等号成立，所以的最小值为，故答案为：,.【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已如函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先将函数整理，得到，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果；（2）由（1）根据题中条件，先求出，根据余弦定理，求出-24-
，进而可求出三角形面积的最值.【详解】（1），由，得，∴函数的单调递增区间为．（2）∵，∴，即，∵为锐角三角形，∴，∴．在中，由余弦定理得：，又，∴，当且仅当时，，∴，∴当时，．【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立，，之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.18.在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列的前n项和为，满足__________，__________；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列．（1）求和的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【答案】（1）答案见解析；（2）．-24-
【解析】【分析】（1）选择①②，可以判断为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；选择②③，由可判断为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；不能选择①③；根据的条件建立关系即可求出公差，得出通项公式；（2）利用错位相减法可求解.【详解】（1）选择①②：当时，由得，两式相减，得，即，由①得，即，∴，得．∴，∴为，公比为的等比数列，∴．选择②③：当时，由③，得，两式相减，得，∴，又，得，∴，∴为，公比为的等比数列，∴．选择①③，由于和等价，故不能选择；设等差数列的公差为d，，-24-
且，，成等比数列．，即，解得，（舍去），∴．（2），，，∴，．【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.19.如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，，，.（1）证明：平面平面；（2）点在棱上，且，求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AC的中点O，连接PO，OB，先证，再证，所以平面-24-
，又平面，所以平面平面.（2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量法计算.【详解】（1）取AC的中点O，连接PO，OB，因为是正三角形，所以，因为，所以.在中，，，，所以，所以，因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，可知，，，，，所以，，-24-
设平面ABM的法向量为，所以，令，得.取平面ABC的一个法向量为，记二面角的平面角为，，易知为锐角，所以二面角为.【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查用向量法求二面角，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.20.已知数列，的前n项和分别为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）记，若恒成立，求k的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用与的关系，可得，再利用等差数列的通项公式即可求解.（2）利用裂项求和法可得，再利用数列的单调性即可求解.【详解】（1）当时，，解得．当时，由，得，两式相减并化简得，由于，所以，即，故是首项为3，公差为3的等差数列，所以．-24-
（2）．故，由于是单调递增数列，，所以．故k的最小值为．【点睛】易错点睛：（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩下两项，后面也剩下两项；或者前面剩下几项，后面也剩几项.（2）将通项裂项后，有时要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.21.冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜．从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A材料、B材料供选择，研究人员对附着在A、B材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图．-24-
（1）由上面等高条形图，填写列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为，且各生产环节相互独立．已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，且生产1吨石塑烯发热膜的每个环节修复费用均为1000元．如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？附：参考公式：，其中．0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828-24-
【答案】（1）列联表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关；（2）2.1万元/吨.【解析】【分析】（1）根据所给等高条形图，得到的列联表，利用公式，求得的观测值，比较即可得到结论；（2）设修复费用为万元．得出可得0，0.1，0.2，0.3，求得相应的概率，得到的分布列，利用公式求得数学期望.【详解】（1）根据所给等高条形图，得到的列联表：A材料B材料合计成功453075不成功52025合计5050100的观测值，由于，故有99%的把握认为试验成功与材料有关．（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为万元．易知可得0，0.1，0.2，0.3．，，，，则Ｘ的分布列为：（分布列也可以不列）X00.10.20.3P修复费用的期望：．-24-
所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标．【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.22.已知函数，，其中．（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；（2）用表示m，n的最大值，记，讨论函数的零点个数．【答案】（1）增函数；；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）先对函数求导，得到，根据导数的方法，即可判定其单调性，进而可求出不等式的解集.（2）时，恒成立，当时，恒成立，故的零点即为函数的零点，讨论在的零点个数得到答案.【详解】（1），当时，，，∴，当时，，，∴，当时，，所以当时，，即在R上是增函数；又，所以的解集为．-24-
（2））函数的定义域为由（1）得，函数在单调递增，当时，，又，所以时，恒成立，即时，无零点.当时，恒成立，所以的零点即为函数的零点下面讨论函数在的零点个数：，所以①当时，因为，又函数在区间递减，所以即当时，，所以单调递减，由得：当时，递增当时，递减当时，，当时又，当时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点；②当时，，由①得：当时，，递增，当时，，递减，所以，，所以当时函数有2个零点③当时，-24-
，，即成立，由，所以当时函数有1个零点综上所述：当或时，函数有1个零点；当或时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点.【点睛】思路点睛：导数的方法研究函数的零点时，通常需要对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，极值或最值等，有时需要借助数形结合的方法求解.-24-
