（新高考）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号2021-2022学年上学期高三第一次月考备考金卷数学（B）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，，∴，故选C．2．复数满足条件（为虚数单位），则（）A．1B．5C．D．25【答案】A
【解析】因为，所以，所以，故选A．3．已知直线，．则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意，直线，直线，因为，可得，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．4．设双曲线的左、右焦点分别是，，过作渐近线的垂线，垂足为．若的面积为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】由双曲线性质知，，，由，得，解得，，所以双曲线的离心率，故选D．5．设是两个不同平面，是两条不同直线，下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】以正方体为例，
A．，平面，平面与平面都可以是平面，与可能平行也可能相交，A错；B．平面，平面，，，此时与相交，B错；C．，由线面平行的性质定理，内有直线，，则，，则，则，C正确；D．平面，平面，，，但与相交，不平行，D错，故选C．6．已知数列中，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在等式中，令，可得，则，所以，数列为等差数列，且该数列的首项和公差均为，因为，故，所以，，则，因此，，故选C．7．已知函数，且，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．【答案】A【解析】令，则，∵，∴，∵，∴是R上的奇函数，∴可化为，又∵，，所以在R上是减函数，∴，解得，故选A．8．已知定直线l的方程为，点Q是直线l上的动点，过点Q作圆的一条切线，是切点，C是圆心，若面积的最小值为，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为（）A．B．2C．D．【答案】B【解析】由题意可得直线l的方程为，圆C的圆心，半径为1，如图：
，又，当取最小值时，取最小值，此时，可得，，则，解得，则直线l的方程为，则直线l上的动点E与圆C上动点F的距离的最小值为，故选B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在中，角A，B，C所对的三边分别是a，b，c，以下条件中，使得无解的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】对于A，大边对大角，而a<b，无解；对于B，由正弦定理得，无解；
对于C，由可得，正弦定理求出，再由正弦定理或余弦定理可求出，有解；对于D，由和，通过余弦定理可得，与矛盾，无解，故选ABD．10．下列结论中，所有正确的结论是（）A．若，则函数的最大值为B．若，，则的最小值为C．若，，，则的最大值为1D．若，，，则的最小值为【答案】BC【解析】A：由，则．又，当且仅当时等号成立，错误；B：，所以可化为，则，当且仅当时等号成立，正确；C：由，，，即，解得，当且仅当时等号成立，正确；
D：由，即，即，当且仅当，即，时等号成立，错误，故选BC．11．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（）A．若为锐角三角形且，则B．若，则为等腰三角形C．若，则D．若，，，则符合条件的有两个【答案】AC【解析】对于A，因为若为锐角三角形且，所以，所以，所以，故A正确；对于B，若，则或．若，则为等腰三角形；若，则，则为直角三角形，故B不正确；对于C，由可得，所以，结合正弦定理可得，故C正确；对于D，，，，，即，解得，只有一个解，故D不正确，故选AC．
12．在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，则（）A．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线的方程为B．双曲线的渐近线方程为C．为定值D．存在点，使得【答案】AC【解析】因为双曲线的离心率为，所以，，渐近线方程为，故B错误；不妨设双曲线的焦点到的距离为1，即，解得，又，故，所以双曲线方程为，故A正确；因为，，设，则，故C正确；，因为点P在第一象限，渐近线方程为，所以，则，
所以，所以不存在点P，使得，故错误，故选AC．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．的展开式中常数项是________．【答案】481【解析】由得，，当时，中的常数项为；当时，中的常数项为；当时，中的常数项是1，故的展开式中常数项为481，故答案为481．14．一只口袋内装有4个白球，5个黑球，若将球不放回地随机一个一个摸出来，则第4次摸出的是白球的概率为________．【答案】【解析】将4个白球和5个黑球都看作是不同的，并将球一一摸出依次排成一排，每一种不同的排法看作一个基本事件，那么基本事项的总数为，其中第4个球是白球的排法数为，故所求概率为，故答案为．15．如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交，
两边于M，N两点，且，，则的最小值为_________．【答案】【解析】根据条件：，因为G是的重心，，，又M，G，N三点共线，，，，当且仅当，即时取等号成立，的最小值为，故答案为．16．若用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型，使其底面在正四面体一个面上，并且要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为_________，体积的最大值为_________．【答案】，【解析】如图，正四面体的内接正三棱柱，首先三个顶点必在正四面体的三条棱上，才能使得三棱柱体积最大，正四面体棱长为6，则高为，
设正三棱柱高为，底面边长为，因为平面平面，所以，，，，当且仅当，即时等号成立，则所制作的正三棱柱模型的高为，体积的最大值为，故答案为，．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列的前n项和为，满足．（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，又，作差得，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，则有．（2）由题得，所以．18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若点在边上，且，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）依题意，根据正弦定理得，整理得，即．因为，所以，
又，所以．（2）如图，作，垂足为，则，所以．设，因为，，所以，，．在中，，在中，，所以，，所以．19．（12分）数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分，数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动，已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．
（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平，决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数有多少？（结果根据四舍五入保留到整数位）解题中可参考使用下列数据：，，．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；（2）50．【解析】（1）由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为，不合格的人数为．因此，的可能值为0，1，2，3，4，则，，，，．故的分布列为
01234所以的数学期望．（2）由题意可知，，，所以．由服从正态分布，得，则，，，所以此次竞赛受到奖励的人数为50．20．（12分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方，得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．“堑堵”其实就是底面为直角三角形的直棱柱．某“堑堵”如图所示，，点在线段上，平面．（1）证明：；（2）若点是底面内的动点，且，求三棱锥
体积的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：如图，连接，设，再连接．由题知四边形是正方形，所以是的中点．因为平面，平面，平面平面，所以，在中，因为是的中点，所以是的中点，所以．（2）连接，在直三棱柱中，平面，平面，所以．又，，所以平面．又平面，所以，所以点的轨迹是以为直径的半圆（不包含，点）．又，所以点到直线的最小距离．
又点是的中点，所以点到平面的距离．又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，所以三棱锥体积的最小值为．21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为1，以线段为直径的圆恰好过椭圆的上、下顶点．（1）求椭圆的方程；（2）若关于直线对称的射线与分别与椭圆位于轴上方的部分交于，两点，求证：直线过轴上一定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）以线段为直径的圆恰好过椭圆的上下顶点，，，，，椭圆的方程为．（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，消去并整理得．设点，，则，．
，且由题意知和必存在，．又，，即，整理得，得，即，解得，的方程为．，即，，解得，，位于椭圆轴上方，，此时直线过轴上的定点．22．（12分）已知函数，．（1）当时，求的最小值；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）0；（2）．【解析】（1）当时，，其导函数为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．（2）由，由，所以，
所以在上单调递增，所以在恒成立，即，恒成立，设，，所以，由（1）知，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即的取值范围为．
