湘潭市2022届高三第一次模拟考试数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．已知为虚数单位，复数，，则复数对应的复平面上的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．如图，在直四棱柱中，下列结论正确的是（）A．与是两条相交直线B．平面C．D．，，，四点共面4．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣．20岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他60岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（）
A．192盏B．128盏C．3盏D．1盏5．已知函数，则（）A．的周期为B．将的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为C．的图象关于点对称D．的图象关于直线对称6．已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（）A．或B．或C．或D．或7．某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题：问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？问题二：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做，如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为（）A．7%B．8%C．9%D．30%8．已知定义域为的函数的导函数为，且，若实数，则下列不等式恒成立的是（）
A．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知向量，，且与的夹角为，则（）A．B．C．D．10．已知随机变量服从正态分布，则（）A．的数学期望为B．的方差为C．D．11．若，，则（）A．B．C．D．12．已知双曲线（，）的左，右焦点为，，右顶点为，则下列结论中，正确的有（）A．若，则的离心率为B．若以为圆心，为半径作圆，则圆与的渐近线相切C．若为上不与顶点重合的一点，则的内切圆圆心的横坐标D．若为直线（）上纵坐标不为0的一点，则当的纵坐标为时，外接圆的面积最小三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角的终边经过点，则______．14．已知定义域为的偶函数在上单调递减，且2是函数的一个零点，则不等式的解集为______．
15．已知某正方体外接球的表面积为，则该正方体的棱长为______．16．用实数（或1）表示命题的真假，其中表示命题为假，表示命题为真．设命题：，（）．（1）当时，______；（2）当时，实数的取值范围为______．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）已知为数列的前项和，且，（，为常数），若，．求：（1）数列的通项公式；（2）的最值．18．（本小题满分12分）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若．（1）求的值；（2）是否存在角，（），满足?若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）某学校举行“英语风采”大赛，有30名学生参加决赛，评委对这30名同学分别从“口语表达”和“演讲内容”两项进行评分，每项评分均采用10分制，两项均为6分起评，两项分数之和为该参赛学生的最后得分，若设“口语表达”得分为，“演讲内容”得分为，比赛结束后，统计结果如下表：得分人数演讲人数6分7分8分9分10分口语表达6分110007分321208分123109分121110分0011（1）从这30名学生中随机抽取1人，求这名学生的最后得分为15分的概率；
（2）若“口语表达”得分的数学期望为．求：①，的值；②这30名参赛学生最后得分的数学期望．20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，底面，，，．（1）求证：平面平面；（2）若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小．21．（本小题满分12分）已知圆锥曲线上的点的坐标满足．（1）说明是什么图形，并写出其标准方程；（2）若斜率为1的直线与交于轴右侧不同的两点，，点为．①求直线在轴上的截距的取值范围；②求证：的平分线总垂直于轴．22．（本小题满分12分）已知为自然对数的底数，函数，（）．（1）若，且的图象与的图象相切，求的值；（2）若对任意的恒成立，求的最大值．湘潭市2022届高三第一次模拟考试·数学参考答案、提示及评分细则1．【命题意图】本题重点考查元素与集合的关系，集合的运算，指数函数的性质等数学基础知识，属容易题．【答案】C【解析】因为，所以．故选：C．
2．【命题意图】本题重点考查复数的几何意义，复数的运算等复数的基础知识，属容易题．【答案】D【解析】因为，所以对应的复平面上的点为，它位于第四象限．故选：D．3．【命题意图】本题重点考查棱柱的结构特征，空间点线面的位置关系，考查学生的空间想象能力，属容易题．【答案】B【解析】因为，所以平面，所以B正确；A，C，D都不正确．故选：B．4．【命题意图】本题重点考查等比数列的概念、通项公式与前和等数列的基础知识，考查学生的阅读理解能力、数学应用能力和家国情怀，属容易题．【答案】A【解析】设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，所以，解得，所以这个塔的最底层有盏灯．故选：A．5．【命题意图】本题重点考查正弦函数的图象与性质，属容易题．【答案】B【解析】因为的周期为，它的图象关于直线和点（）对称，所以A，C，D都不对；将的图象向左平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为，所以B正确．故选：B．6．【命题意图】本题重点考查直线的方程，抛物线的定义、标准方程与性质，直线与圆锥曲线的位置关系等解析几何的基础知识，考查函数与方程，转化与化归的思想，属中档题．【答案】A【解析】设为，则，又，所以，因为，所以，可得，又，联立，消去，得，所以，故，
又，所以，即，解得，或，所以的方程为或．故选：A．7．【命题意图】本题重点考查概率的有关知识，考查学生的阅读理解能力与数学应用意识，属中档题．【答案】C【解析】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为，因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，而一年365天中，阳历为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为，所以这100个回答第一个问题的学生中，约有51人回答了“是”，从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是”，所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%．故选：C．8．【命题意图】本题重点考查函数与导数、不等式的有关知识，考查转化与化归的思想，考查学生的数学综合解题能力，属稍难题．【答案】D【解析】令，则，所以为增函数，又当时，，所以，即，所以．故选：D．9．【命题意图】本题重点考查平面向量的坐标运算，向量的模，向量共线的条件，数量积，向量的夹角等平面向量的基础知识，属容易题．【答案】BD【解析】对于A，因为，所以A不正确；对于B．因为，，所以B正确；对于C，因为，所以C不正确；对于D，因为，所以D正确．故选：BD．10．【命题意图】本题重点考查正态分布的有关概念和性质，属容易题．【答案】AC
【解析】由正态分布的定义及正态曲线的性质，可知A，C正确，B，D不正确．故选：AC．11．【命题意图】本题重点考查指数与对数的运算，基本不等式，比较法等数学基础知识，考查学生的估算能力，属中档题（选对A，得2分很容易）．【答案】ACD【解析】由已知，有，．对于A，有，所以A正确；对于B，因为，且，，，所以，得，所以B不正确；对于C，因为，且，，，所以，所以C正确；对于D，因为，而，因为，所以，故，所以D正确．故选：ACD．12．【命题意图】本题重点考查双曲线的定义与几何性质，直线与圆的位置关系，正弦定理，三角变换及基本不等式等有关知识，考查学生的综合解题能力，属稍难题（选对A，得2分很容易）．【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以，故的离心率，所以A正确；对于B，因为到渐近线的距离为，所以B正确；对于C，由双曲线的定义，可得的内切圆圆心的横坐标，所以C不正确；对于D，由正弦定理，可知外接圆的半径为，所以当最大时，最小．
因为，所以为锐角，故最大，只需最大．由对称性，不妨设（），设直线与轴的交点为，则，当且仅当，即时，取最大值，由双曲线的对称性可知，当时，也取得最大值，所以D正确．故选：ABD．13．【命题意图】本题重点考查三角函数的定义，属容易题．【答案】【解析】因为，，所以．故答案为．14．【命题意图】本题重点考查函数的奇偶性，单调性，函数的零点，数形结合等函数的基础知识，属容易题．【答案】【解析】因为2是函数的一个零点，所以，因为函数是偶函数，所以原不等式等价于，又因为函数在上单调递减，所以，解得．故答案为：．
15．【命题意图】本题重点考查正方体与球的结构特征，球的表面积等立体几何的基础知识，考查学生的空间想象能力，属容易题．【答案】1【解析】设正方体的棱长为，外接球的半径为，则，又，所以，故．故答案为：1．16．【命题意图】本题是一道新定义创新题，重点考查命题，分段函数，函数的图象与性质等函数的基础知识，考查学生的阅读理解能力及函数与方程，数形结合，转化与化归，分类与整合等数学思想方法，属稍难题（第（1）问中档题，第（2）问稍难题）．【答案】（1）0；（2）．（第（1）问2分，第（2）问3分）【解析】（1）当时，不等式对不成立，所以为假命题，故；（2）因为，所以命题为真命题，令，则，所以当时，为减函数，当时，为增函数，要使，成立，只需和时，都成立，所以，得．故答案为：（1）0；（2）．17．【命题意图】本题重点考查等差数列的定义、通项公式与求和公式等数列的基础知识，考查函数与方程，分类与整合等数学思想方法，属容易题．【解析】（1）由，得，
由，得，所以，或，由，得，，此时，；由，得，，此时，；所以，或；（2）当时，，因为是关于正整数的增函数，所以为的最小值，无最大值；当时，，因为为正整数，所以当或时，有最大值，无最小值．18．【命题意图】本题重点考查正弦定理，诱导公式、同角三角函数关系与两角和的正切公式等三角函数的基础知识，考查转化与化归的数学思想和学生的探究能力，（1）属容易题，（2）属中档题．【解析】（1）因为，由正弦定理，得，又因为，所以，故；（2）假设存在角，（），满足，由及，可得，因为，所以，由，可得，由，且，解得，，
从而，，故存在，满足题意．19．【命题意图】本题重点考查概率统计的有关知识，考查学生的阅读理解能力和数据处理能力，属中档题．【解析】（1）因为，所以最后得分为15的人数有，故从这30名学生中随机抽取1人，这名学生的最后得分为15分的概率为；（2）①由表可知“口语表达”得分有6分、7分、8分、9分、10分，且每个分数分别有2人，8人，7人，人，人．所以“口语表达”得分的分布列为：678910又“口语表达”得分的数学期望为，所以，化简，得，因为学生共有30人，所以，由，解得，；②这30名参赛学生最后得分的分布列为得分121314151617181920所以这30名参赛学生最后得分的数学期望为．20．【命题意图】本题重点考查空间点线面的位置关系，二面角，直线与平面所成的角等立体几何的基础知识，考查学生的空间想象能力和运算推理能力，（1）属容易题，（2）属中档题．【解析】（1）因为底面，所以，又，所以，又，为平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）解法一由（1）可知，为二面角的平面角，所以，
又，，，所以，过点作于，则平面且为中点，连接，则为直线与平面所成的角，在中，，，所以，故，所以直线与平面所成的角为60°．解法二建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，可得，，，，设，（），则，，，因为，，，所以，解得，所以，故，设平面的法向量为，因为，，
由，得，令，则，所以为平面的一个法向量，所以，故直线与平面所成的角的正弦值为，所以直线与平面所成的角为60°．21．【命题意图】本题重点考查直线的倾斜角、斜率与方程，椭圆的定义与标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系等解析几何的基础知识，考查坐标法，函数与方程，数形结合，转化与化归等数学思想方法，（1）属容易题，（2）属稍难题．【解析】（1）圆锥曲线是以，为焦点，长轴长为的椭圆，其标准方程为；（2）①设直线：，，，由，消去，得，由题意，有，解得，所以直线在轴上的截距的取值范围为；②因为点在椭圆上，若直线过点，即点（或点）与重合，则与的另一个交点为，不合题意，所以点（或点）与不重合；若或的斜率不存在，则直线过点，此时，与只有一个交点，
所以与的斜率都存在，设直线的斜率为，直线的斜率为，因为，在轴的右侧，结合图象，可知，要证的平分线总垂直于轴，只要证，因为，，也即证：，而成立，故的平分线总垂直于轴．22．【命题意图】本题重点考查函数的最值，导数的几何意义及导数在函数中的应用，不等式等函数、导数和不等式的基础知识，考查学生的转化与化归，分类与整合的数学思想和运用所学知识解决数学问题的综合能力，（1）属中档题，（2）属稍难题．【解析】（1）因为的图象与的图象相切，设切点为，又，所以，解得，．所以；（2）因为等价于，令，当时，在上为增函数，且当时，，所以不满足题意；当时，对任意的恒成立，所以，故，此时的最大值为0；当时，因为，由，得，又当时，，当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，所以当时，有最小值，所以，即，所以，
令（），则，所以当时，为增函数，当时，为减函数，所以，故，所以的最大值为；综上所述，的最大值为．
