答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则()DA.B.C.D.2.设复数在复平面内对应的点为，则()AA.B.C.D.3.函数在其定义域上的图象大致为()DABCD4.已知，则向量的夹角为()CA.B.C.D.5.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器，机器人具有感知､决策､执行等基本特征可以辅助甚至替代人类完成危险､繁重､复杂的工作，提高工作效率与质量，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范围.为了研究，两个机器人专卖店的销售状况，统计了2020年2月至7月，两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法错误的是()CA．根据店的营业额折线图可知，该店营业额的平均值在内B．根据店的营业额折线图可知，其营业额总体呈上升趋势C．根据，两店的营业额折线图，可得店的营业额极差比店大D．根据，两店的营业额折线图，可得店7月份的营业额比店多
6.图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若，，则线段的长为()AA．3B．3.5C．4D．4.57.已知，是双曲线(，)的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左支交于点，与右支交于点B，若，，则A．B．C．D．()B8.若，可以作为一个三角形的三条边长，则称函数是区间上的“稳定函数”.已知函数是区间上的“稳定函数”，则实数的取值范围为()DA．B．C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是()ACDA.某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比为，则应从高二年级中抽取20名学生;B.线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点;C.命题“，”的否定是“，";D.方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小.10.若，则()BC
A.是周期函数B.在上有4个零点C.在上是增函数D.的最小值为11.已知等比数列中，公比，其前项和为，若，则下列说法正确的是()ADA．B．C．数列是等比数列D．对任意正整数(为常数)，数列是公差为1的等差数列12.设函数，其中表示中的最小者，说法正确的有()ABCA.函数为偶函数 B.当时，有C.当时， D.当时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是奇函数，则_________．14.已知函数是偶函数，则_________．15.如图，在中，是的中点，在边上，，，与的交点为．若，则的长为_________．16.已知圆和圆与轴和直线相切，两圆交于两点，其中点坐标为，已知两圆半径的乘积为，则的值为.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知四边形中，与交于点，.(1)若，求的值；(2)若，求的面积解：(1)在△ACD中，由正弦定理得＝，所以sin∠CAD＝＝＝.(2分)因为0＜∠CAD＜，因此cos∠CAD＝＝＝.(4分)(2)(解法1)设AE＝CE＝x，∠AEB＝α.在△ABE中，8＋x2－4xcosα＝16. ①在△BCE中，8＋x2－4xcos(π－α)＝4，即8＋x2＋4xcosα＝4. ②(6分)①②两式相加，解得x＝，即AE＝CE＝.(8分)将x＝代入①式，解得cosα＝－.因为0＜α＜π，所以sinα＝＝，所以△ABC的面积S△ABC＝2S△ABE＝2×AE×BE×sinα＝2×(××2×)＝.(10分)(解法2)因为AE＝CE，所以＝(＋)，两边平方得42＝2＋2＋2||·||cos∠ABC，即32＝16＋4＋2×4×2cos∠ABC，得cos∠ABC＝.又0＜∠ABC＜π，所以sin∠ABC＝＝.(8分)所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×4×2×＝.(10分)18.(本小题满分12分)为落实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如下频率分布直方图：
(1)估算A型设备的使用寿命的第80百分位数.(2)将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：超过2500小时不超过2500小时总计A型B型总计根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？(3)已知用频率估计概率，现有一项工作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A型和B型设备每台的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为应选择哪种型号的设备，请说明理由.参考公式：，.参考数据：0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）3400小时------------------------------------------------------2分（2）由频率分布直方图可知，A型超过2500小时的有台，则A型不超过2500小时的有30台，同理，B型超过2500小时的有台，则B型不超过2500小时的有50台.列联表如下：超过2500小时不超过2500小时总计A型7030100B型5050100总计12080200提出H0：使用寿命是否超过2500小时与型号没有关系.因为，
所以有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关.-------------7分（3）由频率分布直方图中的频率估计概率知：A型设备每台更换的概率为0.3，所以10台A型设备估计要更换3台；B型设备每台更换的概率为0.5，所以10台B型设备估计要更换5台，选择A型设备的总费用(万元)，选择B型设备的总费用(万元)，所以选择A型设备.---------------------------------------------------------------------5分19.(本小题满分12分)已知数列满足：，且.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列满足：，定义使为整数叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数”的和.【详解】（1）∵①，∴，②当时，①﹣②得，∴的奇数项与偶数项各自成等差数列，且公差均为2，，∴(为奇数)(为偶数)∴-----------------------------------------------------------6分（2）设，，∴，令，，∴∴区间内的“幸福数”为，，…，∴所有“幸福数”的和为.--------------------------6分
20.(本小题满分12分)己知抛物线，过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于两点，交抛物线于两点，当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为．(1)求抛物线的标准方程；(2)已知为坐标原点，线段的中点为，线段的中点为，求证：直线过定点．（1）解：因为可化为，所以．因为当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为，所以，所以，所以，抛物线的标准方程为．------------------------------------------4分（2）由（1）知点坐标为，由题意可知，直线和斜率都存在且均不为0，设直线方程为，由联立消去并整理得，，，设，，则，，所以，，因为为中点，所以，因为，为中点，所以，所以，直线的方程为
整理得，所以，直线恒过定点．-----------------------------12分21.(本小题满分12分)已知函数.(1)若函数在处取得极小值，求实数的值；(2)设，若对任意，不等式恒成立，求实数的值．解：(1)f′(x)＝ex[x2＋(m＋2)x＋m2＋m]，由题意，得f′(－1)＝0，即m＝±1. (2分)当m＝1时，f′(x)＝ex(x＋1)(x＋2)，此时函数f(x)在区间(－2，－1)上单调递减，在区间(－1，＋∞)上单调递增，所以符合要求；当m＝－1时，f′(x)＝ex(x＋1)x，此时函数f(x)在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1，＋∞)上单调递减，所以不符合要求．综上，实数m的值为1. (4分)(2)由f(x)≥g(x)，得xex－1－a(x＋lnx)≥0，即ex＋lnx－1－a(x＋lnx)≥0恒成立．令x＋lnx＝t，则t∈R，不等式et－at－1≥0恒成立． (5分)令h(t)＝et－at－1(t∈R)，则h′(t)＝et－a，当a≤0时，h(－1)＝＋a－1<0，所以不符合题意； (7分)当a>0时，h(t)在区间(－∞，lna)上单调递减，在区间(lna，＋∞)上单调递增，所以h(t)min＝h(lna)＝a－alna－1， (9分)所以a－alna－1≥0，即lna＋－1≤0.令φ(a)＝lna＋－1，则φ′(a)＝，所以φ(a)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．又φ(1)＝0，所以a＝1. (12分)22.(本小题满分12分)已知点在椭圆上，点在第一象限，为坐标原点，且.(1)若，直线的方程为，求直线的斜率；(2)若是等腰三角形(点按顺时针排列)，求的最大值.解：(1)由a＝，b＝1，得椭圆方程为＋y2＝1.由得或
因为点A在第一象限，所以A.（2分）又OA⊥AB，所以直线AB的方程为y－＝－3，即3x＋y－5＝0.由得或所以B，(3分)所以直线OB的斜率为kOB＝－.(4分)(2)设直线OA的斜率为k(k>0)，则直线AB的斜率为－.因为△OAB是等腰直角三角形(点O，A，B按顺时针排列)，所以设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1>0，y1>0，x1<x2)．又OA＝AB，所以＝，得|y1|＝|x1－x2|.所以y1＝x2－x1，即x2＝x1＋y1.又由OA⊥AB，得×＝－1，所以y2＝y1－x1.(6分)因为点A(x1，y1)，B(x1＋y1，y1－x1)在椭圆＋＝1上，所以＋＝＋，整理，得b2－2(a2－b2)＋a2＝0，(8分)所以Δ＝4(a2－b2)2－4a2b2≥0，即(a2－b2＋ab)·(a2－b2－ab)≥0.(10分)因为a2－b2＋ab>0，所以a2－b2－ab≥0，即＋－1≤0，所以≤.
当k＝＝＝－1＝时，取得最大值.(12分)
