2021-2022学年山东省济南市高新区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）A．B．C．D．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，则cosA的值为（ ）A．B．C．D．3．（4分）如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1（ ）A．2B．3C．4D．54．（4分）已知线段a＝2cm，线段b＝6cm，则线段a、b的比例中项是（ ）A．2cmB．4cmC．12cmD．±2cm5．（4分）如图所示几何体的左视图是（ ）第35页（共35页）
A．B．C．D．6．（4分）下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（ ）A．﹣x…﹣2﹣1﹣1﹣2…﹣y…﹣6﹣4﹣0﹣2…B．x…﹣2﹣112…y…﹣6﹣336…C．x…﹣2﹣112…y…36﹣6﹣3…D．x…﹣2﹣112…y…21﹣1﹣2…7．（4分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，那么tan∠ABC的值为（ ）第35页（共35页）
A．B．C．4D．8．（4分）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y＝的图象交于A、B、C、D四点，则点C的横坐标（ ）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣19．（4分）如图，△ABC中，CE⊥AB，BD⊥AC，垂足为点D，则图中相似三角形有几对（ ）A．6对B．5对C．4对D．3对10．（4分）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点（BC的长）为（ ）A．30sinα米B．米C．30cosα米D．米11．（4分）如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A相交于点C，且BC：OC＝1：2．则k的值为（ ）第35页（共35页）
A．﹣3B．﹣C．3D．12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，与BC相交于点O，垂足为C，与AD相交于点E，BC＝6，则的值为（ ）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（4分）sin30°的值等于 ．14．（4分）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，CD＝2，则AB的长是 ．15．（4分）已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1与y2的关系为y1 y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）16．（4分）如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1＝和y2＝的图象交于点B和点A．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC ．第35页（共35页）
17．（4分）如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为30°，OB长为（16+16）厘米 厘米．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；③DF＝DC；④tan∠CAD＝四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有 ．三、解答题：（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：|﹣2|+（）0﹣+2cos60°．20．（6分）已知，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．（1）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格纸中画出△A2B2C2；（2）点C2的坐标是（ ）；若图中每个小方格的面积为1，△A2B2C2第35页（共35页）
的面积＝ ．21．（6分）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝822．（8分）小强在地面E处放一面镜子，当他垂直于地面AC站立于点C处时，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，根据光的反射定律有∠FEB＝∠FED，此时EA＝20米，请计算出教学楼的高度．23．（8分）已知：如图．△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）如果，AB＝3，EC＝第35页（共35页）
24．（10分）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量y1（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？（2）该疫苗生产企业有多少个月的月生产数量不超过90万支？25．（10分）小明在学习中遇到这样一个问题．如图，已知线段AC＝2cm，AB＝6cm（不与点A，B重合），连接CP，过点B作BD∥AC交射线CP于点D．当BD≤2AP时小明尝试结合学习函数的经验解决此问题．请将下面的探究过程补充完整：由条件易证△APC∽△ ，令AP＝xcm，BD＝ycm，则有BP＝ （1）用含x的代数式表示y： ，其中自变量x的取值范围为 ．（2）x，y的几组对应值如表所示．x/cm12345y/cm104210.4请你根据表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中，通过描点、连线（3）小明在分析BD≤2AP后，从特殊情况BD＝2AP得到函数 ，在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．（4）结合画出的两个函数图象，解决问题：当BD≤2AP时，AP的取值范围为 ．第35页（共35页）
26．（12分）如图，直线y＝x，与反比例函数y＝（m，3）．（1）求该反比例函数的表达式；（2）将直线y＝x沿y轴向上平移，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，若，连接AB、OB．请判断AB与OA的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，在射线OA上是否存在一点P，若存在，请直接写出P点坐标，请说明理由．27．（12分）【模型呈现：材料阅读】如图，点B，C，E在同一直线上，D在直线CE的同侧，△ABC和△CDE均为等边三角形，BD交于点F．对于上述问题，存在结论（不用证明）：（1）△BCD≌△ACE．（2）△ACE可以看作是由△BCD绕点C旋转而成；…【模型改编：问题解决】点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，∠BAC＝∠DEC＝50°，直线AE第35页（共35页）
如图1：点B在直线CE上．①求证：△BCD∽△ACE；②求∠AFB的度数．如图2：将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度．③补全图形，则∠AFB的度数为 ；④若将“∠BAC＝∠DEC＝50°”改为“∠BAC＝∠DEC＝m°”，则∠AFB的度数为 ．（直接写结论）【模型拓广：问题延伸】如图3：在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝ED＝，连接AG，BF，求第35页（共35页）
2021-2022学年山东省济南市高新区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）A．B．C．D．【分析】直接利用正投影的定义得出答案．【解答】解析：光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致．故选：C．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，则cosA的值为（ ）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10，∴cosA＝＝＝，故选：A．第35页（共35页）
3．（4分）如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出△ADE与△ABC的面积比，计算得到答案．【解答】解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，∴△ADE与△ABC的面积比为6：4．∴△ADE与四边形DBCE的面积比为1：4．∵△ADE的面积是1，∴四边形DBCE的面积是3．故选：B．4．（4分）已知线段a＝2cm，线段b＝6cm，则线段a、b的比例中项是（ ）A．2cmB．4cmC．12cmD．±2cm【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【解答】解：设线段c是a、b的比例中项，∵线段a＝2cm，b＝6cm，∴c2＝ab＝2×6＝12，∴c＝5，c＝﹣2．故选：A．5．（4分）如图所示几何体的左视图是（ ）A．B．第35页（共35页）
C．D．【分析】根据左视图的定义判断即可．【解答】解：根据左视图是定义可知，这个几何体的左视图是选项D，故选：D．6．（4分）下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（ ）A．﹣x…﹣2﹣1﹣1﹣2…﹣y…﹣6﹣4﹣0﹣2…B．x…﹣2﹣112…y…﹣6﹣336…C．x…﹣2﹣112…y…36﹣6﹣3…D．x…﹣2﹣112…y…21﹣1﹣2…【分析】判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，即两个变量的乘积为非零常数k．【解答】解：A．x与y的乘积不全都相等，不合题意；B．x与y的乘积不全都相等，不合题意；C．x与y的乘积全都等于﹣6，符合题意；D．x与y的乘积不全都相等，不合题意；故选：C．7．（4分）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，那么tan∠ABC的值为（ ）第35页（共35页）
A．B．C．4D．【分析】过点A作AE⊥BC于E．根据，tan∠ABC＝，求解即可．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E．在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，故选：C．8．（4分）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y＝的图象交于A、B、C、D四点，则点C的横坐标（ ）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【分析】因为圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称；而双曲线也既是轴对称图形又是中心对称图形，故关于原点对称，且关于y＝x和y＝﹣x对称．【解答】解：把x＝1代入y＝，得y＝8，3）；∵A、B关于y＝x对称，1）；又∵B和C关于原点对称，∴C点坐标为（﹣6，﹣1），第35页（共35页）
∴点C的横坐标为﹣3．故选：B．9．（4分）如图，△ABC中，CE⊥AB，BD⊥AC，垂足为点D，则图中相似三角形有几对（ ）A．6对B．5对C．4对D．3对【分析】根据相似三角形的判定一一证明即可．【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∠BEF＝∠CDF＝90°，∵∠A＝∠A，∠EFB＝∠DFC，∴△AEC∽△ADB，△BEF∽△CDF，∵∠EBF＝∠ABD，∠BEF＝∠ADB＝90°，∴△BEF∽△BDA∽△CEA∽△CDF，∴共有6对相似三角形，故选：A．10．（4分）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点（BC的长）为（ ）A．30sinα米B．米C．30cosα米D．米【分析】根据sinα＝求解．【解答】解：由图可知，在△ABC中，第35页（共35页）
∴sinα＝＝，∴BC＝30sinα米．故选：A．11．（4分）如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A相交于点C，且BC：OC＝1：2．则k的值为（ ）A．﹣3B．﹣C．3D．【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，∵＝，∴＝，∵BA⊥x轴，∴CD∥AB，∴△DOC∽△AOB，∴＝（）2＝（）2＝，∵S△AOB＝，∴S△DOC＝S△AOB＝×＝，∵双曲线y＝在第二象限，∴k＝﹣2×＝﹣3，故选：A．第35页（共35页）
12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，连接AD，与BC相交于点O，垂足为C，与AD相交于点E，BC＝6，则的值为（ ）A．B．C．D．【分析】由轴对称的性质可得AC＝CD，AB＝BD，可证四边形ABDC是菱形，由菱形的性质可得AD⊥BC，AO＝DO＝4，BO＝CO＝3，∠ACO＝∠DCO，在Rt△BOD中，利用勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求EO，AE的长，即可求解．【解答】解：∵△DBC和△ABC关于直线BC对称，∴AC＝CD，AB＝BD，∵AB＝AC，∴AC＝CD＝AB＝BD，∴四边形ABDC是菱形，∴AD⊥BC，AO＝DO＝4，∠ACO＝∠DCO，∴BD＝＝＝5，∵CE⊥CD，∴∠DCO+∠ECO＝90°＝∠CAO+∠ACO＝∠DCO+∠CAO，∴∠CAO＝∠ECO，∴tan∠ECO＝＝，∴，第35页（共35页）
∴EO＝，∴AE＝，∴＝＝，方法二，也可以通过证明△DCE∽△DOB．故选：D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（4分）sin30°的值等于 ．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：sin30°＝．故答案为：．14．（4分）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，CD＝2，则AB的长是 4 ．【分析】直接利用相似三角形的性质得出＝，即可得出答案．【解答】解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝6，DO＝3，∴＝，解得：AB＝8．故答案为：4．15．（4分）已知点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若x1＜x2＜0，则y1与y2的关系为y1 ＜ y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】根据反比例函数的图形和性质进行判断即可，由于点A（x1，y1）和B（x2，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上，若x1＜x2＜0，在第二象限，y随x第35页（共35页）
的增大而增大，进而得出答案．【解答】解：由于点A（x1，y1）和B（x8，y2）都在反比例函数y＝﹣的图象上6＜x2＜0，由在第二象限内，y随x的增大而增大可得，y8＜y2．故答案为：＜．16．（4分）如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1＝和y2＝的图象交于点B和点A．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC 1 ．【分析】设线段OP＝x，则可求出AP、BP，再根据三角形的面积公式得出△ABC的面积＝AB×OP，代入数值计算即可．【解答】解：设线段OP＝x，则PB＝，∵AB＝AP﹣BP＝﹣＝，∴S△ABC＝AB×OP＝××x＝1．故答案为：3．第35页（共35页）
17．（4分）如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为30°，OB长为（16+16）厘米 32 厘米．【分析】作AC⊥OB于点C，然后根据题意和锐角三角函数可以求得AC和BC的长，再根据勾股定理即可得到AB的长，本题得以解决．【解答】解：作AC⊥OB于点C，如右图2所示，则∠ACO＝∠ACB＝90°，∵∠AOC＝45°，∴∠AOC＝∠COA＝45°，∴AC＝OC，设AC＝xcm，则OC＝xcm+16﹣x）cm，∵∠ABC＝30°，∴＝，解得，x＝16，∴16+16﹣x＝16，∴AB＝32（cm），即AB的长为32cm．故答案是：32．第35页（共35页）
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；③DF＝DC；④tan∠CAD＝四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有 ①②③⑤ ．【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；②由AE＝AD＝BC，又AD∥BC，所以，故②正确；③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM＝DE＝BC，得到CN＝NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；④根据三角函数的定义得到tan∠CAD＝，故④错误；⑤根据△AEF∽△CBF得到，求出S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD；S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF＝S△ABF，故⑤正确．【解答】解：过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；第35页（共35页）
∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE＝AD＝，∴，∴CF＝2AF，故②正确，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确；由△BAE∽△ADC，有，∴＝，∴，∵tan∠CAD＝，∴tan∠CAD＝，故④错误；∵△AEF∽△CBF，∴，∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD∴S△AEF＝S矩形ABCD，又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，第35页（共35页）
∴S四边形CDEF＝S△ABF，故⑤正确；故答案为：①②③⑤．三、解答题：（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（6分）计算：|﹣2|+（）0﹣+2cos60°．【分析】先化简绝对值，零指数幂，算术平方根，代入特殊角三角函数值，然后再计算．【解答】解：原式＝2+1﹣5+2×＝2+1﹣8+1＝2．20．（6分）已知，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．（1）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格纸中画出△A2B2C2；（2）点C2的坐标是（ （2，0） ）；若图中每个小方格的面积为1，△A2B2C2的面积＝ 22 ．第35页（共35页）
【分析】（1）根据位似的性质，描出A，B，C，三点的对应点，连接即可‘（2）利用分割法求出三角形的面积即可．’【解答】解：（1）如图所示，即为所求，（2）由图形可知C2（2，10）；S＝3×8﹣＝22．21．（6分）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8【分析】由∠AED＝∠B，∠A＝∠A，得△ADE∽△ACB，再根据相似比列出比例式即可得出结果．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，∵AD＝3，AB＝8，∴，∴AC＝4．22．（8分）小强在地面E处放一面镜子，当他垂直于地面AC站立于点C第35页（共35页）
处时，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，根据光的反射定律有∠FEB＝∠FED，此时EA＝20米，请计算出教学楼的高度．【分析】根据反射角等于入射角可得∠AEB＝∠CED，则可判断Rt△AEB∽Rt△CED，根据相似三角形的性质，即可求出AB．【解答】解：根据题意得∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△AEB∽△CED，∴＝，即＝，解得：AB＝14.8（米）．答：教学楼AB的高度为14.4米．23．（8分）已知：如图．△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）如果，AB＝3，EC＝【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入数值求得结果．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，第35页（共35页）
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）由（1）证得△ABD∽△DCE，∴＝，设CD＝x，则BD＝3﹣x，∴＝，∴x＝4或x＝2，∴DC＝1或DC＝5．24．（10分）为应对全球爆发的新冠疫情，某疫苗生产企业于2021年1月份开始了技术改造，其月生产数量y1（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分（1）该疫苗生产企业4月份的生产数量为多少万支？（2）该疫苗生产企业有多少个月的月生产数量不超过90万支？【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将x＝4代入求出相应的y的值即可；（2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数．【解答】解：（1）当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y＝，∵点（7，180）在该函数图象上，第35页（共35页）
∴180＝，得k＝180，∴y＝，当x＝4时，y＝，即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支；（2）设技术改造完成后对应的函数解析式为y＝ax+b，∵点（4，45），60）在该函数图象上，∴，解得，∴技术改造完成后对应的函数解析式为y＝15x﹣15，，解得2≤x≤5∵x为正整数，∴x＝2，3，3，5，6，8，答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支．25．（10分）小明在学习中遇到这样一个问题．如图，已知线段AC＝2cm，AB＝6cm（不与点A，B重合），连接CP，过点B作BD∥AC交射线CP于点D．当BD≤2AP时小明尝试结合学习函数的经验解决此问题．请将下面的探究过程补充完整：由条件易证△APC∽△ BPD ，令AP＝xcm，BD＝ycm，则有BP＝ （6﹣x）cm （1）用含x的代数式表示y： ﹣2 ，其中自变量x的取值范围为 0＜x＜6 ．（2）x，y的几组对应值如表所示．x/cm12345y/cm104210.4请你根据表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中，通过描点、连线（3）小明在分析BD≤2AP后，从特殊情况BD＝2AP得到函数 y＝2x ，在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．第35页（共35页）
（4）结合画出的两个函数图象，解决问题：当BD≤2AP时，AP的取值范围为 2＜x＜6 ．【分析】由BD∥AC可得△APC∽△BPD，由AP＝xcm，AB＝6cm，可得BP＝（6﹣x）cm；（1）利用相似三角形的性质可得，即，即可得出y＝﹣2，由AB＝6cm可得自变量x的取值范围；（2）根据已知数据描点连线画图即可；（4）当BD＜2AP时，即y＜2x时，画出y＝2x的函数图象，结合画出的函数图象，根据两个函数图象交点即可得AP的取值范围．【解答】解：∵BD∥AC，∴△APC∽△BPD，∵AP＝xcm，AB＝6cm，∴BP＝（6﹣x）cm，故答案为：BPD，（6﹣x）cm；（1）∵△APC∽△BPD，∴，∵AC＝2cm，AB＝6cm，BD＝ycm，∴，∴y＝﹣2，第35页（共35页）
∵x＞5，AB＝6cm，B重合），∴0＜x＜3，故答案为：y＝﹣2；（2）根据已知数据画出图象如图：（3）由图象得：当BD≤2AP时，即y≤3x时，画出y＝2x的函数图象，故答案为：y＝2x，见解析；（4）由图象得：当BD＜5AP时，AP的取值范围为2＜x＜6．故答案为：2＜x＜6．26．（12分）如图，直线y＝x，与反比例函数y＝（m，3）．（1）求该反比例函数的表达式；第35页（共35页）
（2）将直线y＝x沿y轴向上平移，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B，若，连接AB、OB．请判断AB与OA的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，在射线OA上是否存在一点P，若存在，请直接写出P点坐标，请说明理由．【分析】（1）先确定出点A坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）先求出点B坐标秒即可得出结论；利用滚滚滚定理的逆定理即可判断；（3）分两种情况：△PAB∽△BAO和△PAB∽△OAB．利用相似三角形的性质得出AP，进而求出OP，再求出∠AOH＝30°，最后用含30°的直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（m，3）在直线y＝x，∴3＝m，∴m＝3，∴点A（6，3），∵点A（2，3）在反比例函数y＝上，∴k＝7×3＝2，∴y＝；（2）OA⊥AB，理由如下：如图，作BE⊥y轴于E．∴∠BEO＝∠AFO＝90°，∵BC∥AO，∴∠ECB＝∠FOA，第35页（共35页）
∴△BCE∽△AOF，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴B（，9），又∵A（3，3），∴OA2＝36，OB5＝84，AB2＝48，∴OA2+AB4＝OB2，∴∠OAB＝90°，∴OA⊥AB．（3）如图，①当△APB∽△ABO时，＝，由（2）知，AB＝4，即＝，∴AP＝4，∵OA＝6，∴OP＝14，过点A作AH⊥x轴于H，∵A（3，3），∴OH＝3，AH＝3，在Rt△AOH中，∴tan∠AOH＝＝＝，∴∠AOH＝30°．过点P作PG⊥x轴于G，在Rt△APG中，∠POG＝30°，∴PG＝7，OG＝7，∴P（7，3）．②当△PAB∽△OAB时，＝＝1．∴AP＝OA，即A是OP的中点，第35页（共35页）
由（2）知，A（3，∴P（6，6）．综上所述，符合条件的点P的坐标是（7，6）．27．（12分）【模型呈现：材料阅读】如图，点B，C，E在同一直线上，D在直线CE的同侧，△ABC和△CDE均为等边三角形，BD交于点F．对于上述问题，存在结论（不用证明）：（1）△BCD≌△ACE．（2）△ACE可以看作是由△BCD绕点C旋转而成；…【模型改编：问题解决】点A，D在直线CE的同侧，AB＝AC，∠BAC＝∠DEC＝50°，直线AE如图1：点B在直线CE上．①求证：△BCD∽△ACE；②求∠AFB的度数．如图2：将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度．③补全图形，则∠AFB的度数为 115° ；④若将“∠BAC＝∠DEC＝50°”改为“∠BAC＝∠DEC＝m°”，则∠AFB的度数为 90°+ ．（直接写结论）【模型拓广：问题延伸】如图3：在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝1，AD＝ED＝，连接AG，BF，求第35页（共35页）
【分析】【模型改编：问题解决】①先证△ABC∽△DCE，得＝，再根据∠BCD＝∠ACE＝115°，即可证△BCD∽△ACE；②由△BCD∽△ACE可得，∠DBC＝∠EAC，即可得∠AFB＝∠ACB＝65°；③连接AE并延长交BD于F，由△BCD∽△ACE可得，∠CEF＝∠BDC，由∠AFB＝∠BDC+∠CDE+∠DEF，得∠AFB＝∠CDE+∠CED＝50°+65°＝115°；④同理③得∠AFB＝CDE+∠CED＝m°+（180°﹣m°）÷2＝90°+；【模型拓广：问题延伸】连接BD、DF，证△ABD∽△GFD，得∠ADB＝∠GDF，即∠BDF＝∠ADG，再求出BD＝2，DF＝2，根据比例关系证△BDF∽△ADG，即可得出的值．【解答】解：【模型改编：问题解决】①∵AB＝AC，ED＝EC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∠EDC＝∠ECD＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∴△ABC∽△EDC，∴＝，∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝115°，∠BCD＝180°﹣∠EDC＝115°，∴△BCD∽△ACE；②由①知，△BCD∽△ACE，∴∠DBC＝∠EAC，∴∠AFB＝∠DBC+∠CEA＝∠EAC+∠CEA＝∠ACB＝65°；第35页（共35页）
③补图如下：由△BCD∽△ACE可得，∠CEF＝∠BDC，∵∠AFB＝∠BDC+∠CDE+∠DEF＝∠CEF+∠CDE+∠DEF＝∠CED+∠CDE＝50°+65°＝115°，故答案为：115°；④同理③可得∠AFB＝∠CED+∠CDE＝m°+（180°﹣m°）÷6＝90°+，故答案为：90°+；【模型拓广：问题延伸】连接BD、DF，∵在矩形ABCD和矩形DEFG中，AB＝4，DG＝3，∴＝＝，又∵∠BAD＝∠DGF＝90°，∴△ADB∽△GFD，∴∠ADB＝∠GDF，＝，∵∠ADG＝∠GDF+∠ADF，∠BDF＝∠ADB+∠ADF，∴∠ADG＝∠BDF，∴△BDF∽△ADG，∴＝，∵AD＝，AB＝6，∴BD＝＝2，第35页（共35页）
∴＝＝＝．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/11/125:33:27；用户：13675011392；邮箱：13675011392；学号：40932421第35页（共35页）
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