房山区2021—2022学年度第一学期期中学业水平调研高二数学第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数在复平面内对应的点的坐标为（）A．B．C．D．2．已知向量，，则平面ABC的一个法向量为（）A．B．C．D．3．如图，在平行六面体中，（）A．B．C．D．4．已知平面直角坐标系中，四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA所在的直线分别为，，，，如图所示，它们的斜率分别为，，，，则（）A．B．C．D．
5．已知，分别是直线，的方向向量，那么“，不平行”是“，异面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．平行直线：与：之间的距离等于（）A．B．C．D．7．若直线平分圆的周长，则a的值为（）A．6B．C．2D．8．若圆：与圆：外切，则（）A．B．16C．21D．99．如图，在棱长为1的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离（）A．等于B．和EF的长度有关C．等于D．和点Q的位置有关10．已知平面内一点，若直线l上存在点P，使，则称该直线为点的“2域直线”，下列直线中不是点的“2域直线”的是（）A．B．C．D．
第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11．复数的实部是______．12．若复数是纯虚数，则实数______．13．已知点P是圆心为，半径为1的圆上一点，点P到原点的距离的最小值为______．14．在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为______．15．已知点在直线上，当时，的取值范围是______．16．如图，在正方体中，点E，F分别是棱，上的动点．给出下面四个命题：①点B，D到平面ACE的距离相等；②点E，F到直线AC的距离相等；③直线AF与直线CE所成角的最大值是；④平面CDF与平面ACE所成角的最大值是．其中，真命题的序号为______．三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（本小题14分）如图，在复平面内，复数z对应的点为A．（Ⅰ）写出复数z及的值；（Ⅱ）若，求，并在复平面内标出对应的点B．
18．（本小题14分）已知直线：，：，：．其中直线，的交点为．（Ⅰ）求点a与b的值；（Ⅱ）求过点M且与直线平行的直线方程；（Ⅲ）求过点M且与直线垂直的直线方程．19．（本小题14分）如图，在棱长为1的正方体中，点M是BC的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线到平面的距离；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．20．（本小题14分）已知圆M的圆心坐标为，圆上一点．
（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）求过点A的圆的切线方程；（Ⅲ）若在圆M上存在两点P，Q，使得四边形MAPQ为菱形，求直线PQ的方程．21．（本小题14分）如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求平面PDC与平面PBC所成角的余弦值；（Ⅲ）若PB的中点为M，判断直线AM与平面PDC是否相交，如果相交，求出P到交点H的距离．房山区2021-2022学年度第一学期期中学业水平调研高二数学参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案ADCCBABDAC二、填空题（每小题5分，共30分）（11）；（12）；（13）（14）（15）（16）①，③，④(含②得0分，部分得3分，全对得5分)三、解答题（共5小题，共70分）（17）（本小题14分）7，7解：（Ⅰ）复数=，┄┄┄4分┄┄┄3分（Ⅱ）┄┄┄4分对应的点，如图所示.┄┄┄3分
（18）（本小题14分）4，5，5解：（Ⅰ）因为直线，的交点为.所以┄┄┄2分解得┄┄┄2分（Ⅱ）解法一：直线的方程可化为：，所以┄┄┄2分设过点且与直线平行的直线方程为，┄┄┄1分因为所求直线过点，所以，解得，所以，过点且与直线平行的直线方程为，即.┄┄┄2分解法二：设过点且与直线平行的直线方程为┄┄┄3分因为所求直线过点，所以，解得.所以，为所求直线方程.┄┄┄2分（Ⅲ）解法一：因为直线的方程可化为：，所以
设过点且与直线垂直的直线方程为.┄┄┄3分因为所求直线过点，所以，得，所以过点且与直线垂直的直线方程为:，即.┄┄┄2分解法二：设过点且与直线垂直的直线方程为.┄┄┄3分因为所求直线过点，所以，解得.所以，为所求直线方程.┄┄┄2分（19）（本小题14分）4，6，4解：坐标系┄┄┄1分（Ⅰ）连结交于点，连结，因为四边形为正方形，所以是中点是的中点，┄┄┄中点1分（或者坐标）.┄┄┄线线平行1分（或者点积为0）又平面，平面，┄┄┄不在面内1分平面.┄┄┄结论1分（Ⅱ）因为两两互相垂直，以为坐标原点，以的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，.设平面的一个法向量为，则令，则得，此时.┄┄┄法向量2分平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离.┄┄┄1分(无，不扣).┄┄┄公式1分线到平面的距离为.┄┄┄结论1分（Ⅲ）┄┄┄直线1分.┄┄┄公式1分设直线与平面所成角为，┄┄┄公式1分直线与平面所成角的正弦值为.┄┄┄结论1分（20）（本小题14分）4，5，5解：（Ⅰ）由题意可得圆的半径，┄┄┄2分所以圆的标准方程为；┄┄┄2分（Ⅱ）方法一：过圆心和切点的直线的斜率，┄┄┄2分因为过点的圆的切线与直线垂直，所以圆的切线斜率为，
所以直线的点斜式直线方程为：，┄┄┄2分即为所求直线方程.┄┄┄1分方法二：如果切线的斜率不存在，则切线方程为，不符合题意.┄┄┄1分所以，所求切线的斜率存在，设过点的圆的切线方程为；依题意得┄┄┄2分解得：┄┄┄1分所以过点的圆的切线方程为即┄┄┄1分（Ⅲ）因为四边形为菱形，所以，┄┄┄2分可设直线的方程为.又因为四边形为菱形，所以是边长为的等边三角形，，所以圆心到直线的距离，┄┄┄2分解得，所以直线的方程为，即.┄┄┄1分（21）（本小题14分）4，4，6解：（Ⅰ），，，，,.在中，由余弦定理得...┄┄┄1分又，.
.┄┄┄1分又，.┄┄┄1分，.┄┄┄1分解法二：┄┄┄1分┄┄┄1分┄┄┄1分.┄┄┄1分（Ⅱ）取中点，连结.，，，，.四边形是平行四边形.，.，.以为坐标原点，以的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，┄┄┄1分则，，，，.，，.设平面的一个法向量为，则
令，则得，此时┄┄┄1分设平面的一个法向量为，则令，则得，此时.┄┄┄1分.设平面与平面所成角为，平面与平面所成角的余弦值为.┄┄┄1分（Ⅲ），，..┄┄┄1分直线与平面相交.┄┄┄1分设，所以..┄┄┄1分，┄┄┄1分.┄┄┄1分，到交点的距离为1.┄┄┄1分解法二：在平面中，作.┄┄┄1分，┄┄┄1分
.┄┄┄1分所以是平面与平面的交线┄┄┄1分在平面中，，就是直线与平面的交点，┄┄┄1分是正方形，，到交点的距离为1.┄┄┄1分
