福州市八县（市）协作校2021-2022学年第一学期期中联考高二数学试卷【完卷时间：120分钟；满分：150分】一、单选题（本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.抛物线y＝8x2的准线方程是（）A．y＝－2B．x＝－1C．y＝－D．x＝－2.圆与圆的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离3.已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）A．4和3B．－4和3C．－4和－3D．4和－34.椭圆的焦点为F1，F2，上顶点为A，若，则n=（）A.2B.1C.D.5.设点A（1，3），B（3，2），若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．6.已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴。若AB的斜率为3，则C的渐近线方程为（）A.B.C.D.7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，
设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.B.C.D.8．椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]二、多选题（本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）9．关于空间向量，以下说法正确的是（）A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线10．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（）A．当k＝4时，曲线C为圆B．当k>2时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线C．若曲线C为椭圆，且焦距为，则k＝5D．不存在实数k，使得曲线C为抛物线11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（）A．异面直线QP与A1C1所成的角为45°B．A1D⊥平面AQPC．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形D．点M在线段BC1上运动，则三棱锥A﹣MPQ的体积不变12．数学中的很多符号具有简洁､对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素。如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲
线称为“曲线”。在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为“曲线”C。已知点是“曲线”C上一点，下列说法中正确的有（）A．“曲线”C关于原点O中心对称B．C．“曲线”C上满足的点P有两个D．的最大值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13.已知＝（1，1，0），＝（﹣1，3，2），且k+与2﹣垂直，则k的值为。14．已知抛物线经过点为抛物线的焦点，且，则的值为。15.1765年欧拉在其著作《三角形的几何学》首次提出：三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上，我们把这条直线称为该三角形的欧拉线，若△ABC的顶点都在圆x2+y2＝4上，边AB所在直线方程为x+3y＝1，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为。16.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的角正切值为。四、解答题（本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（10分）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，。（1）设，，，用向量，，表示，；（2）求异面直线与所成角的余弦值。
18.（12分）已知圆经过点P(5，0)和点Q(1，4),且圆心在直线上。（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线与圆相交于A，B两点，且∠ACB=120O，求直线的方程。19.（12分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，离心率e＝2，虚轴长为2。（1）求E的方程；（2）过右焦点F，倾斜角为30O的直线交双曲线于A、B两点，求｜AB|。20．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°。PCADB（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；（2）若PD＝2,AD＝AB＝1，∠APD＝30°，求平面ABP与平面DBP所成角的余弦值。21．（12分）设圆的圆心为P，点Q，点H为圆上动点，线段HQ的垂直平分线与线段HP交于点E，设点E的轨迹为曲线C。（1）求曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C交于点A，B，与圆切于点M，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由。22．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为中点，为∆内的动点（含边界）。（1）求点到平面的距离；（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围。
福州市八县（市）协作校2021-2022学年第一学期期中联考高二数学参考答案一、单选题（本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）12345678CCBDAADB二、多选题（本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）9101112BCDADCDABD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13.514.15.16.2四、解答题（本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）………………………………2分……………4分（2）因为，同理可得，……………7分……………8分所以．……………9分
所以异面直线与所成角的余弦值为．……………10分
18.（12分）[解析]（1）方法1：设圆心C的坐标为（a,b)∵圆心C在直线上，∴a+b-1=0①……………1分∵P，Q是圆上两点，∴｜CP｜=｜CQ|∴,即a-b-1=0②……………3分……………4分又由，即圆的半径为，……………5分所以圆的标准方程为.……………6分又由，所以的垂直平分线的斜率为，.……………2分联立方程组，解得，即圆心坐标，……………4分又由，即圆的半径为，……………5分所以圆的标准方程为.……………6分方法3：设圆C的方程为：，根据题意得,解得故所求圆C的方程为：；……………6分（2）过点的直线与圆相交于两点，且，所以圆心到直线的距离为，……………7分①当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，则圆心到直线的距离为，符合题意；……………8分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得，…………10分此时直线的方程为，……………11分综上可得，直线的方程为或.……………12分19.（12分）【解析】（1）∵，又离心率e＝2，∴,……3分∴a＝1．∴E的方程为：．…………5分（2）可求焦点为F(2,0),…………6分设直线的方程为，,…………7分由得，…………9分………12分20.（12分）【解析】(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故CD⊥AP，AP∩PD＝P，CD⊥平面PAD.…………3分又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.…………4分（2）在∆PAD中，PD=2，AD=1，∠APD=30，由余弦定理得PA=∴AD2+PA2=PD2，∴PA⊥AD由(1)可知，CD⊥平面PAD，故AB⊥平面PAD.…………6分以A为坐标原点，的方向分别为x,y,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.由(1)及已知可得A（0，0,0），P（0,0，），B（1，0,0），D（0，1,0），………7分所以＝（1，0，－），＝(-1，1,0)，＝(0,1,0)．设n＝(x，y，z)是平面PBD的一个法向量，则………9分平面PAB的一个法向量为m＝(0,1,0)，…………10分
则所以平面APB与平面BPD所成角的余弦.…………12分PCADBxzy（其他解法酌情得分）【注：】如第(1)问中一定要写出判断CD⊥平面PAD的三个条件，写不全则不能得全分，如AP∩PD＝P一定要有，否则要扣1分；第(2)问中不写出cos〈m，n〉＝这个公式，而直接得出余弦值，则要扣1分。21.（12分）【解析】解：（1）由题意可得，半径，…………1分又线段的垂直平分线与线段交于点，所以，则有，…………3分所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，…………4分故轨迹方程为；…………5分（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，由椭圆的方程可知当时，A,B两点坐标分别为，当时，A，B两点坐标分别为则；…………6分②当直线的斜率存在时，设的方程为，，，，，因为直线与圆相切，所以，即，…………7分联立直线和椭圆的方程可得，则△，
，…………8分则，所以，…………10分∴中，，∴为定值2．…………12分H22.（12分）【解析】（1）法一：在三棱锥中，连接，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，，为中点，所以，，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，∴，，两两垂直．…2分在三棱锥中，以为坐标原点，为正交基底，建立空间直角坐标系，则，，，，，，…………3分设平面的一个法向量为则，令z1=4,则，，∴到平面的距离为…………5分（1）法二：在三棱锥中，连接，，因为是以为斜边的等腰直角三角形，，为中点，所以，，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，
∴，∴，，两两垂直．…………2分∴，又，∴，∴点到平面的距离为．…………5分（2）法一：坐标法，由（1）建立的坐标系中设，则，，，，，…………6分设平面的一个法向量为，则，由（1）知平面的一个法向量，…………7分因为平面，平面，∴，即，即，∴，又，∴，∴，…………9分又平面，∴是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则，
令，，，，令，则，∴在上单调递增，∴，∴，∴，∴直线与平面所成角的正弦值的取值范围为…………12分（2）法二：几何法取BC中点D，连接OD因为O,D分别是AC，BC的中点，所以OD//AB…………6分…………7分…………8分…………9分所以与平面所成角的正弦值的取值范围为．…………12分
