2021-2022学年第一学期州市十六县（市）十七校期中联考高二数学（理科）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．过点且垂直于的直线方程为（）A．B．C．D．2．某校高二年级为选拔参加数学竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示（单位：分），学校规定：成绩不低于130分的人到A班培训，低于130分的人到B班培训，如果用分层抽样的方法从到A班的人和到B班的人中共选取5人，则5人中A班的有（）A．1人B．2人C．3人D．4人3．多面体的三视图如图，它们都是斜边长为的等腰直角三角形，则多面体最长的棱长为（）A．B．C．D．4．如图，长方体的棱和的中点分别为E，F，，则异面直线与所成角的正切值为（）
A．B．C．D．5．设向量．若，则与的夹角为（）A．B．C．D．6．设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（）A．若，，，，则B．若，则C．若，则D．若，则7．一组数据中的第一个数据都乘以2，再减去80，得到一组新数所，若求得新的数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）A．40.6，1.1B．48.8，4.4C．81.2，44.4D．78.8，75.68．如图所示，若该程序输出结果为，则判断框内应填入的条件是（）A．B．C．D．9．已知直线和圆，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（）A．10B．5C．D．10．在的条件下，目标函数的最大值为10，则的最小值是（）
A．B．C．D．11．在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（）A．B．C．D．12．在正方体中，点P在线段上运动，则下列判断正确的个数是（）①三棱锥的体积不变；②平面；③平面平面；④与所成角的范围是．A．4个B．3个C．2个D．1个第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某地在每天坚持足球运动一小时以上的人群中抽取m人进行调查，统计得出各年龄段人数的频率分布直方图，其中30～40岁的人数为10，则________．14．如图，圆锥的母线长为4，点M为母线的中点，从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为_________．15．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高．现选择点A和另一
座山顶点C作为测量观观点，从A测得点M的仰角，点C的仰，测得，已知另一座山高米，则山高_______米．16．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F是棱上的动点，若点P为线段上的动点，则的最小值为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）如图．四棱锥中，底面为矩形，平面，设E为的中点．（1）证明：平面：（2）设异面直线与所成角为，，求三棱锥的体积．18．（本题满分12分）某特色餐馆开通了美团外卖服务，在一周内的某特色菜外卖份数x（份）与收入y（元）之间有如下的对应数据：外卖分数x（份）24568收入y（元）3040605070（1）画出散点图；（2）请根据以上数据用最小二乘法原理求出收入y关于份数x的线性回归方程；
（3）据此估计外卖份数为12份时，收入为多少元．注：①参考方式：线性回归方程系数公式；②参考数据：．19．（本题满分1分）已知平面向量，函数．（1）求的单调增区间：（2）在锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若，求周长的取值范围．20．（本题满分12分）各项均为正数的数列满，且是的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若且，求使成立的正整数n的最小值．21．（本题满分12分）如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为O，且平面．
（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值．22．（本题满分12分）已知圆C经过两点，圆心在直线上．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆C与y轴相交于A，B两点（A在B上方）．直线与圆C交于M，N两点，直线，相交于点T．请问点T是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．2021-2022学年第一学期赣州市十六县（市）十七校期中联考高二数学（理科）参考答案1．C2．B3．B4．A5．D6．B7．A8．C9．C10．D11．D12．B13．5014．15．16．16．作出E关于直线的对称点，过作的垂线，交于P，交与F，过作，交于G，连接．画出图像如下图所示，由于，故为最短的距离．在三角形中，设，则，而，故，所以，所以．
17．（1）连接交于F，F为中点，连接．1分在三角形中，E为的中点，∴，2分∵平面平面，∴平面．5分（2）∵，∴异面直线与所成角的角为，6分∴．7分∴10分18．（1）作出散点图如下图所示：2分（2），4分已知．由公式，可求，8分因此线性回归方程为．9分（3）时，，11分即外卖份数为12份时，收入大约为95.5元．12分
19．（1）1分，3分令，得：，∴的单调递增区间为：；5分（2）由（1）可得，，那么，可得：，6分∵，根据正弦定理，可得，7分那么的周长，9分∵是锐角三角形，∴，则，10分则，11分那么周长，12分20．（1），1分因为数列各项均为正数，故，所以是以公比为2的等比数列，2分又是的等差中项，故，3分即，4分
故．5分（2），6分故…①，所以…②，②-①得7分，10分要，即，故使成立的正整数n的最小值为5．12分21．（1）连接∵四边形为菱形，∴，且，∵平面平面，∴2分∵与平面，∴平面，4分∵平面，∴．5分（2）作，垂足为D，连接，∵四边形为菱形，，∴为等边三角形又，∴，∴∵平面平面，∴又平面，∴平面，8分∵平面，∴，∴二面角的平面角为，10分∵，O为中点，∴，∴，∴，
∴二面角的余弦值为12分22．依题意可设圆心，则，解，2分故，圆C的半径，圆C的标准方程为．4分（2）设，由（1）可知，，5分联立方程组，消去x并化简得，6分所以，7分直线的方程为，①直线的方程为，②8分由①②知11分由，化简得，故点T在定直线上．12分
