2020-2021学年上海市杨浦区高一（上）期末数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）)1.函数的定义域为集合________．2.设函数y＝ax-4，(a>0, a≠1)，若其零点为2，则a＝________．3.求函数f(x)＝x+1x(x>0)的值域________．4.全集U＝{x||x-1|<3, x∈Z}，A＝{1, 2, 3}，则＝________．5.已知函数f(x)=(a2-a+1)xa+2为幂函数，且为奇函数，则实数a的值________．6.函数f(x)＝|3-x|+|x-7|的最小值等于________．7.函数y＝loga(x+3)-4(a>0，且a≠1)图象恒过定点P，点P的坐标为________．8.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，且它在[0, +∞)上单调递增，那么使得f(-2)≤f(a)成立的实数a的取值范围是________．9.若函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，，则函数y＝f(x)在R上的解析式为f(x)＝________．10.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝log2(2-x)，则f(0)+f(6)＝________．11.已知函数f(x)＝ax+1-2(a>0且a≠1)的图象不经过第四象限，则a的取值范围为________．12.定义区间[x1, x2](x1<x2)的长度为x2-x1，已知函数y=|log12x|的定义域为[a, b]，值域为[0, 2]，则区间[a, b]长度的最大值与最小值的差为________．二、选择题（每小题3分，共12分）)13.“m∈{1, 2}“是“lnm<1”成立的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.关于函数，下列说法正确的是（）A.是奇函数且在区间[0, +∞)上是严格增函数B.是偶函数且在区间[0, +∞)上是严格增函数C.是非奇非偶函数且在区间[0, +∞)上是严格增函数D.是非奇非偶函数且在区间[0, +∞)上是严格减函数15.函数的大致图象是（）试卷第7页，总8页
A.B.C.D.16.定义在[t, +∞)上的函数f(x)、g(x)是严格增函数，f(t)＝g(t)＝M，若对任意k>M，存在x1<x2，使得f(x1)＝g(x2)＝k成立，则称g(x)是f(x)在[t, +∞)上的“追逐函数”已知f(x)＝x2，下列四个函数：①g(x)＝x；②g(x)＝lnx+1；③g(x)＝2x-1；④．其中是f(x)在[1, +∞)上的“追逐函数”的是（）A.①②④B.①②③C.①④D.①②三、解答题：（5大题，共52分）)17.已知函数f(x)=ln1+x1-x的定义域为集合A，集合B=(a, a+1)，且B⊆A．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：函数f(x)是奇函数但不是偶函数．18.科学家发现某种特别物质的温度y（单位：摄氏度）随时间x（时间：分钟）的变化规律满足关系式：y＝m⋅2x+21-x(0≤x≤4, m>0)．（1）若m＝2，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度；（2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．19.设函数fm(x)＝log2(x+m)(m∈R)．（1）解不等式；（2）关于x的方程+λ在区间[-2, 6]上有实数解，求实数λ的取值范围．20.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域内存在x0，使得f(x0+1)＝f(x0)+f(1)成立．（1）函数f(x)＝是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f(x)＝lg∈M，求a的取值范围；（3）设函数y＝2x图象与函数y＝-x的图象有交点且交点横坐标为a，证明：函数f(x)＝2x+x2∈M，并求出对应的x0（结果用a表示出来）．21.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x（时）的关系为，x∈[0, 24)，其中a试卷第7页，总8页
是与气象有关的参数，且，若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数，并记作M(a)．（1）令，x∈[0, 24)，求t的取值范围；（2）求M(a)的表达式，（3）规定当M(a)≤2时为综合污染指数不超标，求当a在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．试卷第7页，总8页
参考答案与试题解析2020-2021学年上海市杨浦区高一（上）期末数学试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1.(0, +∞)2.23.[2, +∞)4.{-1, 0}5.16.47.(-2, -4)8.(-∞,-2]∪[2,+∞)9.10.-311.[2, +∞)12.3二、选择题（每小题3分，共12分）13.A14.C15.A16.D三、解答题：（5大题，共52分）17.令1+x1-x>0，解得-1<x<1，所以A=(-1, 1)，因为B⊆A，所以a≥-1a+1≤1 ，解得-1≤a≤0，即实数a的取值范围是[-1, 0]；证明：函数f(x)的定义域A=(-1, 1)，定义域关于原点对称，f(-x)=ln1-x1+x=ln(1+x1-x)-1=-ln1+x1-x=-f(x)，而f(12)=ln3，f(-12)=ln13，所以f(-12)≠f(12)，所以函数f(x)是奇函数但不是偶函数．18.由题意，当m＝2，则2⋅2x+21-x＝5，解得x＝1或x＝-1； 由x≥0，∴x＝1，故经过1时间，温度为5摄氏度．试卷第7页，总8页
由题意得m2x+21-x≥2对一切x≥0恒成立，则 由2x>0，得 m≥22x，令t＝2-x则0<t≤1，f(t)＝-2t2+2t＝-2(t-12)2+12，当t=12时，取得最大值为12．∴m≥12，故的取值范围为[12, +∞)．19.由题意知，不等式即 ，则，化简得，故有 ，∴原等式的解集为．关于x的方程+λ，即 ，由于函数λ在[-3，x＝-2时，λmin＝1；x＝7时，．所以，实数λ的取值范围是．20.若，则在定义城内存在x0，使得．∵方程无解，∴．试卷第7页，总8页
因为，所以(a-2)x2+4ax+2(a-1)＝4有解，当a≠2时，；当a≠2时，由△≥0，得，∴证明：∵＝，又∵函数y＝2x图象与函数y＝-x的图象交点的横坐标为a，即6a+a＝0，因此取x0＝a+7，即得∴存在x0∈R使得f(x7+1)＝f(x0)+f(1)，即f(x)＝5x+x2∈M，其中x0＝a+2．21.，①当x＝8时，t＝0，②当0<x<24时，t＝＝，∵x+＝2即x＝3时，∴，即6<t，综上所述，．试卷第7页，总8页
当时，由（1），，则，所以，于是，g(t)在t∈[0，在是严格增函数，所以，因为，，解，得，所以，当时，；当时，，即．由M(a)≤2，得或或，综上试卷第7页，总8页
．所以，当时，综合污染指数不超标．试卷第7页，总8页
