2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.)1.直线3x-4y-5=0的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示）2.若OA→=(-5, 4)，OB→=(7, 9)，则与AB→同向的单位向量的坐标是________．3.若线性方程组的增广矩阵为a0201b，解为x=2,y=1, 则a+b=________．4.行列式中6-3125k14-2中元素-3的代数余子式的值为7，则k=________．5.以点P(3, 4)和点Q(-5, 6)为一条直径的两个端点的圆的方程是________．6.若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2-4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为________．7.在△ABC中，|AB|＝3，|BC|＝7，|CA|＝5，则BA→在AC→方向上的投影是________．8.已知双曲线kx2-y2=1的一条渐进线的方向向量d→=(2, -1)，则k=________．9.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则AB→⋅AD→=________．10.已知F1、F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的两个焦点，P是双曲线C上一点，且PF1→⊥PF2→，若△PF1F2的面积为16，则b=________．11.若点O和点F分别为椭圆x22+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为________．12.在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A(1, 0)且与直线l:x=-1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2C2M→=C2C1→+C2A→，则M的轨迹方程为________．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)13.“D=a1b1a2b2≠0”是“方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2有唯一解”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条C.充要条件D.既不充分又不必要条件试卷第5页，总6页
14.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是( )A.4B.5C.6D.715.已知集合P={(x, y)||x|+2|y|=5}，Q={(x, y)|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A.0B.2C.4D.816.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±bax(a>0, b>0)，若双曲线上有一点M(x0, y0)，使b|x0|<a|y0|，则该双曲线的焦点（）A.在x轴上B.在y轴上C.当a>b时，在x轴上D.当a>b时，在y轴上三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.已知：a→，b→，c→是同一平面内的三个向量，其中a→=(1, 2).1若|c→|=25，且c→ // a→，求c→的坐标；2若|b→|=52，且a→+2b→与2a→-b→垂直，求a→与b→的夹角θ．18.已知直线l经过点P(-2, 3)，并且与直线l0:x-3y+2=0的夹角为π3，求直线l的方程．19.如图所示，A(23, 0)、B、C是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．试卷第5页，总6页
20.如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．21.对于曲线C:f(x, y)=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C上任意一点P(x, y)有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线(x-1)2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P(x, y)到定点F1(-1, 0)，F2(1, 0)的距离之积为常数a(a>0)，求曲线C的外确界与内确界．试卷第5页，总6页
参考答案与试题解析2015-2016学年上海市徐汇区高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1.arctan342.(1213, 513)3.24.35.(x+1)2+(y-5)2=176.x=-27.328.149.15210.411.212.y2=2x-1二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13.C14.A15.A16.B三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：1设c→=(x,y)，∵|c→|=25，且c→ // a→，∴y-2x=0，x2+y2=20，解得x=2，y=4， 或x=-2，y=-4，故c→=(2,4) 或c→=(-2,-4)．2∵(a→+2b→)⊥(2a→-b→)，∴(a→+2b→)⋅(2a→-b→)=0， 即2a→2+3a→⋅b→-2b→2=0，∴2×5+3a→⋅b→-2×54=0，整理得a→⋅b→=-52试卷第5页，总6页
，∴cosθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=-1，又∵θ∈[0, π]，∴θ=π．18.解：由于直线l0:x-3y+2=0的斜率为33，故它的倾斜角为π6，由于直线l和直线l0:x-3y+2=0的夹角为π3，故直线l的倾斜角为π2 或5π6，故直线l的斜率不存在或斜率为-33．再根据直线l经过点P(-2, 3)，可得直线l的方程为x=-2，或y-3=-33(x+2)，即x=-2，或x+3y-1=0．如图：19.解：（1）A的坐标为(23, 0)，即有a=23，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，可得a=3b，解得b=2，则椭圆E的方程为x212+y24=1，（2）直线BC的方程为y=x，代入椭圆方程x2+3y2=12，得y=x=±3，∴S△ABC=12|OA|⋅|yB-yC|=3×23=6，△ABC的面积为6．20.解：（1）上半个圆所在圆的方程为x2+y2-4y-4=0，圆心为(0, 2)，半径为22；则下半个圆所在圆的圆心为(0, -2)，半径为22；双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为(-2, 0)，(2, 0)，即a=2，由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=±22，即有交点为(±22, 2)；设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)，则8a2-4b2=1，且a=2，解得b=2；所以双曲线的方程为x24-y24=1；试卷第5页，总6页
（2）双曲线的左、右焦点为F1(-22, 0)，F2(22, 0)，若∠F1PF2是直角，设点P(x, y)，则有x2+y2=8，由x2+y2=8x2-y2=4，解得x2=6，y2=2；由x2+y2=8x2+(y±2)2=8，解得y=±1（不满足题意，应舍去）；所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为(±6, 2)和(±6, -2)．21.解：（1）y2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，∴曲线y2=4x不是“有界曲线”；∵曲线(x-1)2+y2=4的轨迹为以(1, 0)为圆心，以2为半径的圆，如图：由图可知曲线(x-1)2+y2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线(x-1)2+y2=4是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）由已知得：(x-1)2+y2⋅(x+1)2+y2=a，整理得：(x2+y2+1)2-4x2=a2，∴y2=4x2+a2-(x2+1)，∵y2≥0，∴4x2+a2≥x2+1，∴(x2+1)2≤4x2+a2，∴(x2-1)2≤a2，∴1-a≤x2≤a+1，则x2+y2=x2+4x2+a2-(x2+1)=4x2+a2-1，∵1-a≤x2≤a+1，∴(a-2)2≤4x2+a2≤(a+2)2，即|a-2|≤4x2+a2≤|a+2|，当0<a<1时，2-a≤4x2+a2≤a+2，则1-a≤4x2+a2-1≤a+1，∴1-a≤x2+y2≤a+1，则曲线C的外确界与内确界分别为a+1，1-a；当1≤a≤2时，2-a≤4x2+a2≤a+2，则1-a≤4x2+a2-1≤a+1，∴0≤x2+y2≤a+1，则曲线C的外确界与内确界分别为a+1，0；当2<a≤3时，a-2≤4x2+a2≤a+2，则a-3≤4x2+a2-1≤a+1，∴0≤x2+y2≤a+1，则曲线C的外确界与内确界分别为a+1，0；当a>3时，a-2≤4x2+a2≤a+2，则a-3≤4x2+a2-1≤a+1，∴a-3≤x2+y2≤a+1，则曲线C的外确界与内确界分别为a+1，a-3．试卷第5页，总6页
